যদি y = sin^-1 (sinx) হয়, তবে dy/dx হবে-

যদি y = sin^-1 (sinx) হয়, তবে dy/dx হবে-

1. sinx (Incorrect)
2. cosx (Incorrect)
3. x (Incorrect)
4. 1 (Correct)

ব্যাখ্যা:

আমাদের y = sin^-1 (sinx) ফাংশনের অন্তরকলজ (dy/dx) নির্ণয় করতে হবে।

ফাংশনের সরলীকরণ

আমরা জানি, sin^-1(sinx) = x, যখন -π/2 ≤ x ≤ π/2।

সুতরাং, y = x।

অন্তরকলজ নির্ণয়

এখন, আমরা y = x এর সাপেক্ষে x এর অন্তরকলজ নির্ণয় করব।

dy/dx = d/dx (x)

আমরা জানি, d/dx (x) = 1।

সুতরাং, dy/dx = 1।

বিকল্পের বিশ্লেষণ

• A. sinx: ভুল উত্তর।
• B. cosx: ভুল উত্তর।
• C. x: ভুল উত্তর।
• D. 1: সঠিক উত্তর।

অতিরিক্ত ব্যাখ্যা

যদি x এর মান -π/2 ≤ x ≤ π/2 এর বাইরে থাকে, তবে sin^-1(sinx) = x নাও হতে পারে। তবে, সাধারণত এই ধরনের সমস্যায় x এর মান উক্ত সীমার মধ্যেই ধরা হয়, যদি অন্য কিছু উল্লেখ না থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 3π/2 হয়, তবে sin(3π/2) = -1, এবং sin^-1(-1) = -π/2, যা 3π/2 এর সমান নয়।

কিন্তু, যদি আমরা সরাসরি অন্তরকলজ করি, চেইন রুল ব্যবহার করে:

y = sin^-1 (u), যেখানে u = sinx

dy/du = 1 / √(1 - u²)

du/dx = cosx

dy/dx = (dy/du) × (du/dx) = (1 / √(1 - sin²x)) × cosx

dy/dx = (1 / √(cos²x)) × cosx

dy/dx = (1 / |cosx|) × cosx

যদি cosx > 0 হয়, dy/dx = 1।

যদি cosx < 0 হয়, dy/dx = -1।

তবে, সরলীকরণের মাধ্যমে আমরা সরাসরি y = x পাই, যার অন্তরকলজ 1। সুতরাং, বিকল্প D সঠিক।

সঠিক উত্তর: D. 1