\( y = e^{\sqrt{x}} \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = e^{\sqrt{x}} \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) কত? সমাধান: প্রথমে, আমরা বুঝতে পারি যে এখানে \( y \) এর মধ্যে একটি সূচকীয় ফাংশন রয়েছে যেখানে সূচক হলো \( \sqrt{x} \)। তাই, আমরা চেইন রুল ব্যবহার করব। ধরি: \[ y = e^{u} \quad \text{where} \quad u = \sqrt{x} \] প্রথমত, \( y \) এর জন্য ডেরিভেটিভ: \[ \frac{dy}{du} = e^{u} \] এবং, \( u = \sqrt{x} = x^{1/2} \), এর ডেরিভেটিভ: \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] অতএব, চেইন রুল অনুসারে, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = e^{u} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} \] উপস্থাপনা অনুযায়ী, \( u = \sqrt{x} \), তাই: \[ \frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} \] এখন, যদি প্রশ্নের উত্তরটি \( e^{\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} \) হয়, তবে সেটি ভুল, কারণ সঠিক ডেরিভেটিভটি হল: \[ \boxed{\frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}} \] অতএব, সঠিক উত্তর:

প্রথমত, y = e^√x

চেইন রুল অনুযায়ী,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \)

যেখানে, \( u = \sqrt{x} \)

অর্থাৎ,

\( \frac{dy}{du} = e^{u} \)

এবং,

\( \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

তাই,

\( \frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} \)