Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা প্রদানকৃত প্রশ্নটি হলো:
\[ \sin^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) + \cos^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \]
ধাপ ১: প্রথম অংশের মান নির্ণয় করুন:
ধরা যাক,
\[ \theta = \sin^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) \]
অর্থাৎ,
\[ \sin \theta = \frac{4}{5} \]
এবং \(\theta\) এর কোণ থাকুক প্রথম চ quadrant (কারণ \(\sin^{-1}\) রেঞ্জ \(-\frac{\pi}{2}\) থেকে \(\frac{\pi}{2}\)), যেখানে \(\sin \theta\) ধনাত্মক।
ধাপ ২: কোসাইন মান নির্ণয় করুন:
\[
\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}
\]
ধাপ ৩: দ্বিতীয় অংশের মান নির্ণয় করুন:
\[
\phi = \cos^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]
এবং \(\phi\) এর কোণ থাকুক প্রথম চ quadrant (কারণ \(\cos^{-1}\) এর রেঞ্জ ০ থেকে \(\pi\)), যেখানে \(\cos \phi\) ধনাত্মক। সেক্ষেত্রে,
\[
\sin \phi = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
ধাপ ৪: যোগফল \(\theta + \phi\) এর মান নির্ণয় করুন:
আমরা জানি,
\[
\sin (\theta + \phi) = \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi
\]
এখানে,
\[
\sin \theta = \frac{4}{5} \quad,\quad \cos \theta = \frac{3}{5}
\]
\[
\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{5}} \quad,\quad \sin \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
সুতরাং,
\[
\sin (\theta + \phi) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)
\]
প্রথমে, সমাধান করি:
\[
\frac{4}{5} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5 \sqrt{5}}
\]
এবং
\[
\frac{3}{5} \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{3}{5 \sqrt{5}}
\]
অতএব,
\[
\sin (\theta + \phi) = \frac{8}{5 \sqrt{5}} + \frac{3}{5 \sqrt{5}} = \frac{8 + 3}{5 \sqrt{5}} = \frac{11}{5 \sqrt{5}}
\]
এখন, \(\sin (\theta + \phi)\) এর মান হলো \(\frac{11}{5 \sqrt{5}}\)।
ধাপ ৫: এটি থেকে \(\tan (\theta + \phi)\) নির্ণয় করুন:
\[
\tan (\theta + \phi) = \frac{\sin (\theta + \phi)}{\cos (\theta + \phi)}
\]
আমরা জানি,
\[
\sin^2 (\theta + \phi) + \cos^2 (\theta + \phi) = 1
\]
অতএব,
\[
\cos (\theta + \phi) = \sqrt{1 - \sin^2 (\theta + \phi)} = \sqrt{1 - \left(\frac{11}{5 \sqrt{5}}\right)^2}
\]
গণনা করি,
\[
\left(\frac{11}{5 \sqrt{5}}\right)^2 = \frac{121}{25 \times 5} = \frac{121}{125}
\]
সুতরাং,
\[
\cos (\theta + \phi) = \sqrt{1 - \frac{121}{125}} = \sqrt{\frac{125 - 121}{125}} = \sqrt{\frac{4}{125}} = \frac{2}{\sqrt{125}} = \frac{2}{5 \sqrt{5}}
\]
অতএব,
\[
\tan (\theta + \phi) = \frac{\frac{11}{5 \sqrt{5}}}{\frac{2}{5 \sqrt{5}}} = \frac{11}{2}
\]
সুতরাং,
\[
\theta + \phi = \tan^{-1} \left(\frac{11}{2}\right)
\]
**উত্তর:**
\[
\boxed{
\sin^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) + \cos^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{11}{2}\right)
}
\]
