একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু A(5, 12), B(12, 5) এবং C(7, 17) হলে, ∠ACB কোণের মান হবে-

Explanation:

Another Explanation (5): ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(5, 12)\), \(B(12, 5)\) এবং \(C(7, 17)\)। ∠ACB কোণের মান নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে, \(AC\) ও \(BC\) সরলরেখা দুটির ঢাল নির্ণয় করি। \(AC\) এর ঢাল, \(m_1 = \frac{17 - 12}{7 - 5} = \frac{5}{2}\) \(BC\) এর ঢাল, \(m_2 = \frac{17 - 5}{7 - 12} = \frac{12}{-5} = -\frac{12}{5}\) এখন, যদি \(AC\) এবং \(BC\) পরস্পর লম্ব হয়, তবে \(m_1 \cdot m_2 = -1\) হবে। \(m_1 \cdot m_2 = \frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{12}{5}\right) = -6 \neq -1\) সুতরাং, \(AC\) এবং \(BC\) লম্ব নয়। এখন আমরা \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য বের করি। \(AB = \sqrt{(12 - 5)^2 + (5 - 12)^2} = \sqrt{7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98}\) \(AC = \sqrt{(7 - 5)^2 + (17 - 12)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\) \(BC = \sqrt{(7 - 12)^2 + (17 - 5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) এখন, আমরা কোসাইন সূত্র ব্যবহার করি: \(\cos(\angle ACB) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}\) \(\cos(\angle ACB) = \frac{29 + 169 - 98}{2 \cdot \sqrt{29} \cdot 13} = \frac{98 + 29}{26\sqrt{29}} = \frac{100}{2 \times 13 \times \sqrt{29}} = \frac{29 + 169 - 98}{2 \cdot \sqrt{29} \cdot 13} = \frac{98}{26\sqrt{29}} = \frac{49}{13\sqrt{29}}\) \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) কিনা দেখি। যদি হয়, তবে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\angle ACB = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\) \(98 = 29 + 169\) \(98 \neq 198\) \(AC^2 + BC^2 = 29 + 169 = 198\) \(AB^2 = 98\) তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য(Pythagorean theorem) এখানে খাটছে না। 🤔 যদি ∠ACB = π/2 হয়, তাহলে \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) হতে হবে। কিন্তু, \((\sqrt{29})^2 + (13)^2 = 29 + 169 = 198\) এবং \((\sqrt{98})^2 = 98\). সুতরাং, \(198 \neq 98\). অতএব, \(\angle ACB \neq \frac{\pi}{2}\). \(AC^2 + BC^2 - AB^2 = 29 + 169 - 98 = 198 - 98 = 100\) \(\cos(\angle ACB) = \frac{100}{2 \cdot \sqrt{29} \cdot 13} = \frac{50}{13\sqrt{29}}\) যদি \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) হয়, তবে, \(98 + 29 = 127 \neq 169\) ❌ যদি \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) হয়, তবে, \(98 + 169 = 267 \neq 29\) ❌ যদি প্রশ্নটি??ে দেওয়া উত্তরটি সঠিক হয়, তবে অবশ্যই \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) হতে হবে। 🤔 কিন্তু আমরা দেখলাম \(AB^2 \neq AC^2 + BC^2 \). সুতরাং, প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক নয়। 😞 যদি \(m_1 \times m_2 = -1\) হয় তবে \(\angle ACB = \frac{\pi}{2}\) হবে। \(m_1 = \frac{5}{2}\), \(m_2 = \frac{12}{-5}\) \(m_1 \times m_2 = \frac{5}{2} \times \frac{-12}{5} = \frac{-60}{10} = -6 \neq -1\) 😥 সুতরাং \(\angle ACB = \frac{\pi}{2}\) নয়। আমার মনে হয় প্রশ্নটিতে অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। 😓