Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: দুইটি সরলরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং তারা \(3y=2x\) রেখার সঙ্গে \( \tan^{-1} \frac{1}{2} \) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুইটির সমীকরণ \(y = m_1 x\) এবং \(y = m_2 x\)। প্রদত্ত রেখাটির সমীকরণ \(3y = 2x\) বা, \(y = \frac{2}{3}x\)। সুতরাং এই রেখার ঢাল \(m = \frac{2}{3}\)।
যেহেতু সরলরেখা দুইটি \( y = \frac{2}{3}x \) রেখার সাথে \( \tan^{-1} \frac{1}{2} \) কোণ উৎপন্ন করে, তাই \( \tan \theta = \frac{1}{2} \)।
আমরা জানি, দুইটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) হলে,
\[ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} \right| \]
এখানে, \( \tan \theta = \frac{1}{2} \) এবং \( m = \frac{2}{3} \)। সুতরাং,
\[ \frac{1}{2} = \left| \frac{m_1 - \frac{2}{3}}{1 + m_1 \cdot \frac{2}{3}} \right| \]
এখন,
\[ \frac{1}{2} = \left| \frac{3m_1 - 2}{3 + 2m_1} \right| \]
সুতরাং, \( \frac{3m_1 - 2}{3 + 2m_1} = \pm \frac{1}{2} \)
প্রথমত, \( \frac{3m_1 - 2}{3 + 2m_1} = \frac{1}{2} \)
বা, \( 6m_1 - 4 = 3 + 2m_1 \)
বা, \( 4m_1 = 7 \)
সুতরাং, \( m_1 = \frac{7}{4} \)
অতএব, একটি সরলরেখার সমীকরণ \( y = \frac{7}{4} x \) বা, \( 4y = 7x \) বা, \( 7x = 4y \)।
দ্বিতীয়ত, \( \frac{3m_1 - 2}{3 + 2m_1} = -\frac{1}{2} \)
বা, \( 6m_1 - 4 = -3 - 2m_1 \)
বা, \( 8m_1 = 1 \)
সুতরাং, \( m_1 = \frac{1}{8} \)
অতএব, অপর সরলরেখার সমীকরণ \( y = \frac{1}{8} x \) বা, \( x = 8y \)।
সুতরাং, নির্ণেয় সরলরেখা দুইটির সমীকরণ \( 7x = 4y \) এবং \( x = 8y \)। 🎉🥳
```
