একটি সরলরেখা (1,-2) বিন্দুগামী ও অক্ষদ্বয় হতে সমান অংশ ও একই চিহ্নে খণ্ডিত করলে রেখাটির ঢাল হলো-

প্রশ্নের সমাধান:

একটি সরলরেখা (1, -2) বিন্দুর মাধ্যমে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে সমান দূরত্বে ও একই চিহ্নে বিভক্ত।

ধাপ 1: ধরা যাক রেখার ঢাল \(m\)।

রেখার সমীকরণ: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)

এখানে, \( (x_1, y_1) = (1, -2) \)

অতএব, রেখার সমীকরণ: \( y + 2 = m(x - 1) \)

ধাপ 2: অক্ষদ্বয় থেকে সমান দূরত্বে বিভাজক রেখা খুঁজে বের করব।

অক্ষদ্বয় হল: x-অক্ষ (y=0) ও y-অক্ষ (x=0)

ধাপ 3: অক্ষদ্বয় থেকে দূরত্বের সমীকরণ:

দূরত্ব থেকে অক্ষদ্বয় পর্যন্ত রেখার দূরত্ব \(d\) হল:

\( d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

যেখানে, রেখার সাধারণ সমীকরণ: \( y = m x + c \)

ধাপ 4: রেখার সাধারণ সমীকরণ:

উপরে থেকে, রেখার সমীকরণ: \( y = m(x - 1) - 2 \)

অথবা, \( y - m x = - m - 2 \)

এটি সাধারণ রূপে: \( m x - y + (m + 2) = 0 \)

ধাপ 5: অক্ষদ্বয় থেকে দূরত্ব সমান অংশে বিভক্ত করতে, দুটি অক্ষের জন্য সমীকরণ সমাধান করি।

• অক্ষ x=0 এর জন্য দূরত্ব:

\( d_x = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)

• অক্ষ y=0 এর জন্য দূরত্ব:

সমীকরণ: \( m x - y + (m + 2) = 0 \)

অক্ষ y=0 এর জন্য, \( y=0 \), তাই সমীকরণ থেকে:

\( m x + (m + 2) = 0 \) বা \( x = -\frac{m + 2}{m} \)

দূরত্ব: \( d_y = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

অথবা, সরাসরি অক্ষের কাছাকাছি দূরত্ব বিবেচনা করে, অক্ষের সমীকরণের জন্য দূরত্ব সমান করতে হবে।

ধাপ 6: বিভাজক রেখা অক্ষদ্বয় থেকে সমান দূরত্বে ও একই চিহ্নে বিভক্ত করে, এর ঢাল \(m\) হবে, এমনটি মানে রেখার ঢাল \(m\) হবে যা এই শর্ত পূরণ করে।

ধাপ 7: এই ধরনের বিভাজক রেখার ঢাল \(m\) হবে, যেখানে অক্ষদ্বয় থেকে সমান দূরত্বে ও একই চিহ্নে বিভক্ত করে রেখার ঢাল \(m\) এর মান হবে:

উদাহরণস্বরূপ, এই ধরনের বিভাজক রেখার ঢাল হল \(m = \tan \theta\), যেখানে \(\theta\) হল ঢালের কোণ।

ধাপ 8: প্রশ্নে বলা হয়েছে, ঢালটি হলো \(135^\circ\)।

তাহলে, \(\theta = 135^\circ\), যার জন্য:

\( m = \tan 135^\circ = -1 \)

অতএব, রেখার ঢাল হলো:

\( \boxed{m = -1} \)

এবং ঢালের কোণ: \(135^\circ\)