একটি সরলরেখা (3,5) বিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে। সরলরেখাটির সমীকরণ কি?

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, সরলরেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((3,5)\) দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় \ থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে।

ধরা যাক, সরলরেখার সমীকরণ

\[ y = mx + c \]

এখানে, এটি অক্ষদ্বয় থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট অংশে ছেদ করে মানে, এই রেখার অক্ষদ্বয় থেকে দূরত্বের স্বাভাবিক নির্দেশে বিপরীত দিকের অক্ষের সমান দূরত্ব রয়েছে।

প্রথমে, বিন্দু \((3,5)\) দিয়ে রেখার সমীকরণে বসিয়ে নিই:

\[ 5 = m \times 3 + c \] => \[ 3m + c = 5 \quad \text{(১)} \]

অক্ষদ্বয় থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট অংশে ছেদ মানে, রেখার সমীকরণ অক্ষদ্বয় থেকে দূরত্বের দিক পরিবর্তন করে বিপরীত দিকের দিকে ছেদ করে।

অক্ষদ্বয় থেকে রেখার দূরত্ব (d) হিসেব করা হয়:

\[ d = \frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \]

যেহেতু রেখাটি অক্ষদ্বয় থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট অংশে ছেদ করে, অর্থাৎ রেখার অক্ষদ্বয় থেকে দূরত্বের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।

এখন, ধরা যাক, রেখার সমীকরণটি

\[ y - mx - c = 0 \]

অক্ষদ্বয় থেকে দূরত্বের জন্য, ??ক্ষের সমীকরণটি \( Ax + By + C = 0 \) রূপে লেখা যায়, যেখানে:

\[ A = -m, \quad B = 1, \quad C = -c \]

অক্ষদ্বয় থেকে দূরত্ব:

\[ d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{| - c |}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{| c |}{\sqrt{m^2 + 1}} \]

যেহেতু সমান দূরত্বের অংশ ছেদ করে, এর মানে এই যে, রেখার অক্ষদ্বয় থেকে দূরত্বের চিহ্নটি পরিবর্তিত হয়েছে। অর্থাৎ, যদি রেখার সমীকরণ \( y = mx + c \) হয়, তবে বিপরীত অংশের জন্য সমীকরণটি হবে:

\[ y = -mx + c' \]

তাহলে, মূল রেখার সমীকরণ ও বিপরীত অংশের রেখার সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য হলো স্লোপের চিহ্ন পরিবর্তন।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, সরলরেখার সমীকরণ: \( x - y + 2 = 0 \)।

এখন, এই সমীকরণের slope হলো:

\[ y = x + 2 \] => slope \( m = 1 \)

এখন, এই রেখাটি বিন্দু \((3,5)\) দিয়ে যায়। পরীক্ষা করি:

\[ y = x + 2 \] \[ 5 = 3 + 2 \] সত্য, তাই এটি একদম সঠিক।

এবং, অক্ষদ্বয় থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট অংশের ছেদ মানে, রেখাটির সমীকরণটি \( x - y + 2 = 0 \)।

সুতরাং, উত্তরটি সঠিক এবং উপযুক্ত।

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\( x - y + 2 = 0 \)