নিচের কোন রেখাটি (3,6) বিন্দু দিয়ে যায় ও মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব 6 একক?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন:

নিচের কোন রেখাটি (3,6) বিন্দু দিয়ে যায় ও মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব 6 একক?

উত্তর: "4x+3y=30"

সমাধান:

ধরি, সরলরেখার সমীকরণ \(ax + by = c\).

(3,6) বিন্দুটি রেখার উপর অবস্থিত। সুতরাং,

\[3a + 6b = c \quad \text{(1)}\]

মূলবিন্দু থেকে রেখার লম্ব দূরত্ব 6 একক। সুতরাং,

\[\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 6\] \[\implies c^2 = 36(a^2 + b^2) \quad \text{(2)}\]

সমীকরণ (1) থেকে, \(c = 3a + 6b\). এই মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

\[(3a + 6b)^2 = 36(a^2 + b^2)\] \[\implies 9a^2 + 36ab + 36b^2 = 36a^2 + 36b^2\] \[\implies 27a^2 - 36ab = 0\] \[\implies 9a(3a - 4b) = 0\]

সুতরাং, \(a = 0\) অথবা \(3a = 4b\).

যদি \(a = 0\) হয়, তবে সমীকরণ (1) থেকে \(c = 6b\). সেক্ষেত্রে রেখাটি হবে \(by = 6b\) বা \(y = 6\). কিন্তু মূলবিন্দু থেকে এর দূরত্ব 6 একক এবং এটি (3,6) বিন্দুগামী।

যদি \(3a = 4b\) হয়, তবে \(a = \frac{4b}{3}\). সমীকরণ (1) থেকে,

\[c = 3\left(\frac{4b}{3}\right) + 6b = 4b + 6b = 10b\]

অতএব, রেখার সমীকরণ \(\frac{4b}{3}x + by = 10b\). \(b\) দিয়ে ভাগ করে পাই,

\[\frac{4}{3}x + y = 10\] \[\implies 4x + 3y = 30\]

সুতরাং, নির্ণেয় রেখার সমীকরণ \(4x + 3y = 30\), যা (3,6) বিন্দুগামী এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব 6 একক। 🥳

যাচাই:

• (3,6) বিন্দুটি \(4x + 3y = 30\) রেখার উপর অবস্থিত কিনা: \[4(3) + 3(6) = 12 + 18 = 30\] সুতরাং, বিন্দুটি রেখার উপর অবস্থিত। ✅
• মূলবিন্দু থেকে \(4x + 3y = 30\) রেখার দূরত্ব: \[\frac{|4(0) + 3(0) - 30|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{30}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{30}{\sqrt{25}} = \frac{30}{5} = 6\] সুতরাং, দূরত্ব 6 একক। ✅

```