n সংখ্যক বস্তু হতে যে কোন সংখ্যক জিনিস দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা হবে- 

প্রশ্ন:

n সংখ্যক বস্তু হতে যে কোন সংখ্যক জিনিস দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা হবে।

উত্তর:

বিন্যাস বা পারমুটেশন হলো এমন একটি বিন্যাস যেখানে n টি বিভিন্ন বস্তুকে বিভিন্ন ক্রমে সাজানো হয়।

সমাধান:

ধরা যাক, আমাদের কাছে n টি পৃথক বস্তু রয়েছে। যদি আমরা এই বস্তুগুলো থেকে কোন k (১ ≤ k ≤ n) টি বস্তু বাছাই করে তাদের বিভিন্ন ক্রমে সাজাতে চাই, তাহলে সেটির জন্য পারমুটেশনের সূত্র হলো:

Permutation of n objects taken k at a time:
\( P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} \)

এখন, যদি আমরা n টি সব বস্তু ব্যবহার করে সব ধরনের বিন্যাসের সংখ্যা জানতে চাই, তাহলে আমাদের জন্য k এর মান 1 থেকে n পর্যন্ত নিতে হবে।

অর্থাৎ, সব ধরনের বিন্যাসের সংখ্যা হলো:

\[ \sum_{k=1}^n P(n, k) = \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(n - k)!} \]

বিশ্লেষণ:

তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, n সংখ্যক বস্তু থেকে যে কোন সংখ্যক জিনিস দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা কত? অর্থাৎ, সব ধরনের বিন্যাসের মোট সংখ্যা কত? এটি হলো:

সমস্ত বিন্যাসের মোট সংখ্যা:
যেখানে, সকল k এর জন্য P(n, k) যোগ করতে হবে।

কিন্তু, এই যোগফলটি সরাসরি হিসাব করলে পায় না। তবে, সকল বিন্যাসের মোট সংখ্যা হলো n এর সব সম্ভাব্য পারমুটেশন, অর্থাৎ:

Permutation of n objects (যখন সব বস্তু ব্যবহার করা হয়):
\( n! \)

অতএব, সব ধরনের বিন্যাসের সংখ্যা হলো:

n সংখ্যক বস্তু দিয়ে যে কোন সংখ্যক জিনিসের বিন্যাসের সংখ্যা = n!

উপসংহার:

অতএব, উত্তর হলো: n!