\( \cos\theta = \frac{12}{13} \) হলে \( \tan 2\theta \) সমান কত?

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \( \cos \theta = \frac{12}{13} \)

আমরা জানি, \( \sin \theta \) এর মান খুঁজে বের করতে হবে। কারণ, \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)।

\( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \)

অতএব, \( \sin \theta = \pm \frac{5}{13} \)

তাহলে, \( \tan \theta \) এর মান:

\( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \pm \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \pm \frac{5}{12} \)

এখন, \( \tan 2\theta \) এর সূত্র:

\( \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \)

প্রতিস্থাপন করি \( \tan \theta = \pm \frac{5}{12} \):

\( \tan 2\theta = \frac{2 \times \pm \frac{5}{12}}{1 - \left(\pm \frac{5}{12}\right)^2} = \frac{\pm \frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} \)

সরলীকরণ:

\( \tan 2\theta = \pm \frac{\frac{10}{12}}{\frac{119}{144}} = \pm \frac{10}{12} \times \frac{144}{119} = \pm \frac{10 \times 144}{12 \times 119} \)

\( = \pm \frac{1440}{1428} \)

সরলীকরণে, numerator ও denominator দুভাগই 12 দ্বারা ভাগ্য হয়:

\( \frac{1440}{12} = 120 \), এবং \( \frac{1428}{12} = 119 \)

অতএব,

\( \tan 2\theta = \pm \frac{120}{119} \)