intf(x)dx=1/[2a]ln([a+x]/[a-x])+c হলে, f(x) এর মান কত? 

দেওয়া আছে, \(\int f(x) \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) + c\)।

আমাদের \(f(x)\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা উভয়পক্ষে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করি।

\(\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2a} \ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) + c \right)\)

বামপক্ষে, \(\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = f(x)\)

ডানপক্ষে,

\(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2a} \ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) + c \right) = \frac{1}{2a} \frac{d}{dx} \left( \ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) \right) + 0\)

= \(\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{a+x}{a-x} \right)\)

= \(\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{(a-x)(1) - (a+x)(-1)}{(a-x)^2}\)

= \(\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{a-x+a+x}{(a-x)^2}\)

= \(\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{2a}{(a-x)^2}\)

= \(\frac{1}{2a} \cdot \frac{2a}{(a+x)(a-x)}\)

= \(\frac{1}{(a+x)(a-x)}\)

= \(\frac{1}{a^2 - x^2}\)

সুতরাং, \(f(x) = \frac{1}{a^2 - x^2}\) 🥳