y = tanx হলে

1. y₁ = sec²x
2. y₂ = 2tanxsec²x
3.  y₂=2(1+y²)

 নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = \tan x \), তাহলে নিম্নলিখিত কোনটি সঠিক? (i) \( y_1 = \sec^2 x \) (ii) \( y_2 = 2 \tan x \sec^2 x \) (iii) \( y_2 = 2(1 + y^2) \) উত্তর: "i ও ii" --- **সমাধান:** প্রথমে \( y = \tan x \) থেকে \( y \) এর ডেরিভেটিভ বের করি: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x \] **প্রথমটি (i):** \[ y_1 = \sec^2 x \] এটি সঠিক, কারণ \( y_1 \) মূল ডেরিভেটিভ \( \frac{dy}{dx} \) এর সমান। তবে, এখানে প্রশ্নে শুধুমাত্র \( y_1 \) কে উল্লেখ করেছে, তাই এটি সঠিক। **দ্বিতীয়টি (ii):** প্রকাশটি হল: \[ y_2 = 2 \tan x \sec^2 x \] এটি সম্ভবত \( \frac{dy}{dx} \) এর দ্বিগুণ। আসুন দেখি: \[ \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \] তাহলে, \[ 2 \tan x \sec^2 x \] অর্থাৎ, এটি \( 2 y \frac{dy}{dx} \) এর সমান নয়। তবে, যদি \( y = \tan x \), তাহলে: \[ \frac{d}{dx} (\tan x)^2 = 2 \tan x \sec^2 x \] অর্থাৎ, এটি \( \frac{d}{dx} (y^2) \) এর সমান। ফলে, \[ \frac{d}{dx} (y^2) = 2 y \frac{dy}{dx} = 2 \tan x \sec^2 x \] অর্থাৎ, **(ii)** হলো \( \frac{d}{dx} (y^2) \) এর সমান। এটি সঠিক। **তৃতীয়টি (iii):** \[ y_2 = 2(1 + y^2) \] এটি মূল ডেরিভেটিভের সাথে সম্পর্কিত নয়। কারণ \( y = \tan x \), তাই: \[ 1 + y^2 = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \] অর্থাৎ, \[ 2(1 + y^2) = 2 \sec^2 x \] এবং এই মানটি মূল ডেরিভেটিভ নয়, বরং ডেরিভেটিভের গুণফল। অতএব, এটি সঠিক নয়। --- **সারাংশ:** - (i) সঠিক: \( y_1 = \sec^2 x \) - (ii) সঠিক: \( y_2 = 2 \tan x \sec^2 x \) (অর্থাৎ, \(\frac{d}{dx} (y^2)\)) - (iii) ভুল **উত্তর:** "i ও ii"