বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে-

1.  sin^-1x+cos^-1x=1/2 
2.  2tan^-1x=cos^-1((1-x^2)/(1+x^2)) 
3.  2tan^-1x=sin^-1((2x)/(1-x^2)) 

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান:

প্রথমে দেওয়া তিনটি বিবৃতি যাচাই করি:

1. \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{1}{2} \)
   এটি সত্য নয়। সাধারণত, \(\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}\) (বা 90°)।
   সুতরাং,
   \(\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \neq \frac{1}{2}\) (ব্রেকেটের বাইরে কনভার্সন প্রয়োজন)।
   তাই, (i) ভুল।

   তবে, যদি প্রশ্নে রেডিয়ানে নয়, বা অন্য কোন অর্থে না হয়, তাহলে এটি ভুল।

   ---

2. \(2 \tan^{-1} x = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right) \)
   এটি যাচাই করি।

প্রমাণ:

আমরা জানি: \[ \cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} \] এবং, \[ A = \tan^{-1} x \Rightarrow 2A = 2 \tan^{-1} x \] তাহলে, \[ \cos 2A = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \] অর্থাৎ, \[ 2 \tan^{-1} x = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right) \] সুতরাং, (ii) সত্য।

---

3. \(2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \)
   এটি সাধারণত সত্য নয়।

প্রমাণ বা অপ্রমাণ:

আমরা জানি: \[ \sin 2A = \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A} \] অর্থাৎ, \[ 2A = \sin^{-1} \left( \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A} \right) \] যেখানে \(A = \tan^{-1} x\), তাহলে: \[ 2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \] অর্থাৎ, সঠিক সূত্র হল: \[ 2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \] অতএব, (iii) ভুল, কারণ দেয়া সমিকরণের মধ্যে \(1 - x^2\) এর স্থানে \(1 + x^2\) থাকতে হবে।

সারাংশ:

- (i) ভুল - (ii) সঠিক - (iii) ভুল অতএব, উত্তর: "ii"।

উত্তর: "i & ii"