x² + y² - 12x + 8y + c = 0 বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে।

c এর মান কত?

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 12x + 8y + c = 0\)

আমরা জানি, বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে থাকলে, তখন তার কেন্দ্রের y-অক্ষের সাথে দূরত্ব সেই বৃত্তের রেডিয়াসের সমান হবে।

প্রথমে, বৃত্তের কেন্দ্রের নির্ণয় করি। সমীকরণটি মানানসই করতে সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি।

সমীকরণ:

\(x^2 - 12x + y^2 + 8y + c = 0\)

প্রতিটি পরামিতির জন্য সম্পূর্ণ বর্গ রূপে রূপান্তর করি:

\(x^2 - 12x = (x - 6)^2 - 36\)

\(y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16\)

অতএব, সমীকরণটি হয়:

\((x - 6)^2 - 36 + (y + 4)^2 - 16 + c = 0\)

=> \((x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 36 + 16 - c\)

=> \((x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 52 - c\)

এখানে, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো: \( (6, -4) \)

বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে থাকলে, এর কেন্দ্র থেকে x-অক্ষ (যা y=0) পর্যন্ত দূরত্বটি সমান রেডিয়াসের।

কেন্দ্র থেকে x-অক্ষের দূরত্ব (r) হিসাব করি:

\(d = |y_{\text{কেন্দ্র}} - 0| = |-4 - 0| = 4\)

এবং, রেডিয়াস (R) হলো:

\(R = \sqrt{52 - c}\)

যেহেতু, বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই:

\(R = d\)

=> \(\sqrt{52 - c} = 4\)

=> \(52 - c = 16\)

=> \(c = 52 - 16 = 36\)

অতএব, উত্তর হল: \(c = 36\)