\( \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \) হলে, \( A+B \) এর মান কত?

সমাধান:

ধরা যাক, \( \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \)।

আমরা জানি:

• \( \sin A + \cos A = \sqrt{2} \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) \)
• \( \sin B + \cos B = \sqrt{2} \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \)

অতএব, সমানতা থেকে পাই:

\[ \sqrt{2} \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]

দুটি সমান হলে, সেক্ষেত্রে:

\[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]

যা সমাধান করতে পারি দুইটি মূল সমাধানের মাধ্যমে:

• \( A + \frac{\pi}{4} = B + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow A = B + 2k\pi \)
• \( A + \frac{\pi}{4} = \pi - \left( B + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi \Rightarrow A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)

দ্বিতীয় সমাধানটি সরল করে পাই:

\[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

অর্থাৎ:

\[ A + \frac{\pi}{4} + B + \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \]

বা:

\[ A + B + \frac{\pi}{2} = \pi + 2k\pi \]

অতএব:

\[ A + B = \pi + 2k\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]

অর্থাৎ, \(A + B\) এর মান হয়:

\[ A + B = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} \]

প্রশ্নে সাধারণ মান চাওয়া হয়েছে, তাই মূল মান হলো:

\(\boxed{\frac{\pi}{2}}\)