k এর কোন মানের জন্য (x-y+3)²+(kx+2)(y-1)=0 সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে?

Another Explanation (5): প্রথমে, সমীকরণটি হলো: \[ (x - y + 3)^2 + (kx + 2)(y - 1) = 0 \] আমরা লক্ষ্য করছি, এই সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। অর্থাৎ, এটি একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের মতো হতে হবে: \[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \] এবং এর জন্য, সমীকরণটি একটি পূর্ণ বৃত্তের সমীকরণ হিসেবে বিবেচিত হবে যদি এবং কেবল যদি এর কেন্দ্রের সমীকরণটি যথাযথ হয় এবং এর ব্যাসার্ধ ধনাত্মক হয়। প্রথমে, সমীকরণটি খোলার জন্য: \[ (x - y + 3)^2 + (kx + 2)(y - 1) = 0 \] প্রথম অংশ: \[ (x - y + 3)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 6x - 6y + 9 \] দ্বিতীয় অংশ: \[ (kx + 2)(y - 1) = kx y - kx + 2 y - 2 \] অতএব, সমীকরণ: \[ x^2 - 2xy + y^2 + 6x - 6y + 9 + kx y - kx + 2 y - 2 = 0 \] সংখ্যা ও সমীকরণের সমন্বয়: \[ x^2 + y^2 + (-2xy + kx y) + (6x - kx) + (-6y + 2 y) + (9 - 2) = 0 \] সমাহার: \[ x^2 + y^2 + y x (-2 + k) + x (6 - k) + y (-4) + 7 = 0 \] এখন, সমীকরণটি একটি বৃত্তের জন্য মানানসই হলে, এর \(x^2\) ও \(y^2\) এর কোঅর্ডিনেট বা উপাদান একই হতে হবে এবং cross-term \(xy\) এর জন্য উপাদান অবশ্যই নিরপেক্ষ বা নির্ণায়ক হতে হবে। তাই, এই সমীকরণের সাধারণ আকার হলো: \[ x^2 + y^2 + (k - 2) xy + (6 - k) x - 4 y + 7 = 0 \] বৃত্তের সমীকরণে, \(xy\) টার্ম থাকা উচিত নয়। অর্থাৎ, কেবলমাত্র \(x^2\), \(y^2\), \(x\), \(y\), এবং ধ্রুবক টার্ম থাকতে পারে। সুতরাং, এর জন্য: \[ k - 2 = 0 \] অর্থাৎ: \[ k = 2 \] এখন, এই মানের জন্য সমীকরণটি হবে: \[ x^2 + y^2 + (6 - 2) x - 4 y + 7 = 0 \] অর্থাৎ: \[ x^2 + y^2 + 4 x - 4 y + 7 = 0 \] এখন, এই সমীকরণটি সম্পন্ন বৃত্তের সাধারণ রূপে রূপান্তর করি: পূর্ণবৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে, সম্পূর্ণ করতে হবে: \[ x^2 + 4x + y^2 - 4 y = -7 \] সম্পূর্ণ করার জন্য: \[ x^2 + 4x + 4 - 4 + y^2 - 4 y + 4 = -7 + 4 + 4 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1 \] যেহেতু কেন্দ্র \( (-2, 2) \) ও ব্যাসার্ধ \(\sqrt{1} = 1\) ধনাত্মক, এটি সত্যিই একটি বৃত্ত। অতএব, **k এর মানের জন্য** সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে: \[ \boxed{2} \] **উত্তর: 2**