tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC হলে (A+B+C) এর মান কত ? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \) হলে \( A + B + C \) এর মান কত? সমাধান: ধরি, \( A, B, C \) ত্রিকোণীয় কোণ। আমরা জানি, ত্রিকোণীয় কোণের জন্য: \[ A + B + C = \pi \] প্রশ্নে দেওয়া শর্ত: \[ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \] এখন, যদি \( A + B + C = \pi \), তাহলে: \[ \boxed{ A + B + C = \pi } \] এখন, এই শর্তের জন্য পরীক্ষা করি। **প্রমাণ:** ধরা যাক \( A, B, C \) এমন কোণ যে, \[ A + B + C = \pi \] তাহলে: \[ C = \pi - (A + B) \] তাই, \[ \tan C = \tan (\pi - (A + B)) = - \tan (A + B) \] আমাদের লক্ষ্য: \[ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \] বদলে: \[ \tan A + \tan B - \tan (A + B) = - \tan A \tan B \tan (A + B) \] ব্যবহার করি ত্রিকোণীয় ট্যানজেন্টের যোগফল সূত্র: \[ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] অতএব, \[ \tan C = - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] এখন, মূল শর্তে বসাই: \[ \tan A + \tan B - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = - \tan A \tan B \times \left( - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \right) \] বামে: \[ (\tan A + \tan B) \left( 1 - \frac{1}{1 - \tan A \tan B} \right) \] অথবা, \[ (\tan A + \tan B) \left( \frac{1 - \tan A \tan B - 1}{1 - \tan A \tan B} \right) = (\tan A + \tan B) \left( \frac{ - \tan A \tan B }{1 - \tan A \tan B} \right) \] এবং ডানে: \[ \frac{ \tan A \tan B (\tan A + \tan B) }{ 1 - \tan A \tan B } \] দুটি পাশের সমতা হলে: \[ (\tan A + \tan B) \left( \frac{ - \tan A \tan B }{1 - \tan A \tan B} \right) = \frac{ \tan A \tan B (\tan A + \tan B) }{ 1 - \tan A \tan B } \] উভয় পক্ষের জন্য: \[ - (\tan A + \tan B) \frac{ \tan A \tan B }{1 - \tan A \tan B} = \frac{ \tan A \tan B (\tan A + \tan B) }{ 1 - \tan A \tan B } \] উভয় পাশের মূলভাগে \( \frac{ \tan A \tan B }{ 1 - \tan A \tan B } \) থাকায়: \[ - (\tan A + \tan B) = (\tan A + \tan B) \] অর্থাৎ: \[ - (\tan A + \tan B) = (\tan A + \tan B) \] অর্থাৎ, \[ 2 (\tan A + \tan B) = 0 \] অতএব, \[ \tan A + \tan B = 0 \] অর্থাৎ, \[ \tan A = - \tan B \] এখন, কারণ \( A + B + C = \pi \), এবং \( C = \pi - (A + B) \), তখন: \[ A + B = \pi - C \] যেহেতু \( \tan A = - \tan B \), তাহলে: \[ A = - B + n \pi \] অর্থাৎ, \( A \) এবং \( B \) এর ট্যানজেন্ট বিপরীত। এখন, \( A + B + C = \pi \), তাই: \[ A + B = \pi - C \] একই সময়ে, \( A = - B + n \pi \), আবার \( A + B = \pi - C \), এর মানে: \[ - B + n \pi + B = \pi - C \] অর্থাৎ, \[ n \pi = \pi - C \] যেহেতু \( C \) একটি কোণ, তাই: \[ C = \pi - n \pi \] সাধারণত, \( n = 1 \) হলে: \[ C = \pi - \pi = 0 \] অথবা, অন্য মানে \( C = 0 \) বা \( C = \pi \)। অতএব, \( A + B + C = \pi \) বা \( 0 + 0 + \pi = \pi \)। **উপসংহার:** \[ \boxed{ A + B + C = \pi } \] **অর্থাৎ,** যদি শর্তটি পূরণ হয়, তাহলে \( A + B + C \) এর মান হবে \( \pi \)। --- **উত্তর:** ```html

\pi

```