x - 3y - 2 = 0 রেখার উপর অবস্থিত P বিন্দুটি (2, 3) এবং ( 6, −5) বিন্দু দুটি হতে সমদূরবর্তী হলে, P বিন্দুটির স্থানাঙ্ক কোনটি?

Another Explanation (5): প্রথমে, রেখার সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে: \[ x - 3y - 2 = 0 \] এবং বিন্দু দুটি \(A(2, 3)\) ও \(B(6, -5)\)। প্রশ্নে বলা হয়েছে, বিন্দু \(P(x, y)\) এই রেখার উপর অবস্থিত এবং \(A\) ও \(B\) থেকে সমদূরবর্তী। অর্থাৎ, \(P\) থেকে \(A\) এবং \(P\) থেকে \(B\) এর দূরত্ব সমান। সুতরাং, \[ PA = PB \] দূরত্বের সূত্রানুযায়ী, \[ \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (y + 5)^2} \] দুটি পাশের বর্গমূল অপসারণ করলে, \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2 \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 10y + 25) \] দুটি পাশের সমানতা থেকে, \(x^2\) ও \(y^2\) সমান থাকায়, তারা বাদ গেল: \[ -4x + 4 - 6y + 9 = -12x + 36 + 10y + 25 \] সহজীকরণ করি: \[ -4x - 6y + 13 = -12x + 10y + 61 \] এখন, সব x ও y এর টার্ম একপাশে নিয়ে আসি: \[ -4x + 12x - 6y - 10y = 61 - 13 \] \[ 8x - 16y = 48 \] প্রতিটি টার্মের সাথে 8 ভাগ করলে: \[ x - 2y = 6 \] এটি আমাদের পেতে হলো: \[ x = 2y + 6 \] এখন, \(P(x, y)\) রেখার উপর থাকায়, \[ x - 3y - 2 = 0 \] এখানে \(x = 2y + 6\) বসিয়ে দিই: \[ (2y + 6) - 3y - 2 = 0 \] সাধারণ করি: \[ 2y + 6 - 3y - 2 = 0 \] \[ - y + 4 = 0 \] অর্থাৎ, \[ y = 4 \] এখন, \(x\) এর মান: \[ x = 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14 \] অতএব, বিন্দু \(P\) এর স্থানাঙ্ক হলো: \[ \boxed{(14, 4)} \] ### উত্তর: \(\boxed{(14, 4)}\)