\( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = ? \)

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}}\)

সমাধান:

প্রথমে integrand এর ভেতরের অংশকে সাধারণ রূপে রূপান্তর করি:

\[ 2x - x^2 = - (x^2 - 2x) = - [x^2 - 2x + 1 - 1] = - [(x - 1)^2 - 1] \] অতঃপর, \[ \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{- (x - 1)^2 + 1} = \sqrt{1 - (x - 1)^2} \] তাহলে, ইন্টেগ্রালটি হয়: \[ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}} \] প্রতিস্থাপন করি: \( t = x - 1 \), তাহলে \( dx = dt \), যখন \( x = 0 \Rightarrow t = -1 \) এবং \( x = 1 \Rightarrow t = 0 \)। এইভাবে ইন্টেগ্রালটি হয়: \[ \int_{-1}^0 \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} \] এখন, আমাদের জানা রয়েছে: \[ \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1} t + C \] অতঃপর, নির্ণয় করি: \[ \left[ \sin^{-1} t \right]_{-1}^{0} = \sin^{-1} 0 - \sin^{-1}(-1) = 0 - \left(- \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \] অতএব, উক্ত ইন্টেগ্রালের মান হল: \[ \boxed{\frac{\pi}{2}} \]