ahati-3ahatj-4hatkওahati+2hatj-2hatk ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে a এর মান-

🤔 প্রশ্ন: \( \vec{A} = a\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k} \) এবং \( \vec{B} = a\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে \( a \) এর মান নির্ণয় করো। 🧐

💡 সমাধান:

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হওয়া। অর্থাৎ, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \)। 🤓

এখানে, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = (a\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (a\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \)

ডট গুণফল করি, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = a^2 - 6 + 4 \)

সুতরাং, \( a^2 - 2 = 0 \)

বা, \( a^2 = 2 \)

সুতরাং, \( a = \pm \sqrt{2} \) 😟

কিন্তু প্রদত্ত উত্তর 2,4 হওয়ায়, আমরা অন্যভাবে সমাধান করার চেষ্টা করি। 🤔

যদি দ্বিতীয় ভেক্টরটি \( \vec{B} = a\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \) হয়, তবে:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (a\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (a\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \)

ডট গুণফল করি, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = a^2 - 6 + 8 \)

সুতরাং, \( a^2 + 2 = 0 \)

এই ক্ষেত্রে \( a \) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় না। 😥

যদি প্রথম ভেক্টরটি \( \vec{A} = a\hat{i} - 3a\hat{j} - 4\hat{k} \) হয়, তবে:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (a\hat{i} - 3a\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (a\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \)

ডট গুণফল করি, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = a^2 - 6a + 8 \)

সুতরাং, \( a^2 - 6a + 8 = 0 \)

\( (a-4)(a-2) = 0 \)

সুতরাং, \( a = 2, 4 \) 🎉

অতএব, \( a \) এর মান 2 অথবা 4। ✅