int_0^1(1+x+x^2)/(1+x^2)dx=কত?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: আমরা প্রথমে ইন্টিগ্র‍্যান্ডটিকে একটু সরল করে নেই: \[ \frac{1+x+x^2}{1+x^2} = \frac{(1+x^2)+x}{1+x^2} = 1 + \frac{x}{1+x^2} \] তাহলে, \[ \int_0^1 \frac{1+x+x^2}{1+x^2} dx = \int_0^1 \left(1 + \frac{x}{1+x^2}\right) dx \] এখন আলাদাভাবে ইন্টিগ্রেশন করি: \[ \int_0^1 1 \, dx = [x]_0^1 = 1-0 = 1 \] এবং \[ \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx \] এখানে \(u = 1+x^2\) ধরলে, \(du = 2x \, dx\) হয়। সুতরাং, \(x \, dx = \frac{1}{2} du\). যখন \(x = 0\), তখন \(u = 1+0^2 = 1\). যখন \(x = 1\), তখন \(u = 1+1^2 = 2\). তাহলে, \[ \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \int_1^2 \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} [\ln|u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2 = \ln \sqrt{2} \] অতএব, \[ \int_0^1 \frac{1+x+x^2}{1+x^2} dx = 1 + \ln \sqrt{2} \] সুতরাং, উত্তর: \( \ln \sqrt{2} + 1 \) 🥳🎉