cos²0°+ cos²10°+ cos²20°+ cos²30°+.....+ cos²90° = কত? 

প্রশ্ন: cos²0° + cos²10° + cos²20° + ... + cos²90° = কত?

উত্তর: 5

সমাধান:

আমরা জানি, cos²θ = \frac{1 + \cos 2θ}{2}

তাহলে, সমষ্টিটি হবে:

\[ S = \sum_{k=0}^{9} \cos^2(10^\circ \times k) = \sum_{k=0}^{9} \frac{1 + \cos(20^\circ \times k)}{2} \]

এটি লিখতে পারি:

\[ S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos(20^\circ \times k) \]

প্রথম অংশঃ

\[ \frac{1}{2} \times 10 = 5 \]

দ্বিতীয় অংশঃ

\[ \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos(20^\circ \times k) \]

এখন, আমরা জানি যে:

\[ \sum_{k=0}^{n-1} \cos(\alpha + k\beta) = \frac{\sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} \cos \left(\alpha + \frac{(n-1)\beta}{2}\right) \]

এখানে, n=10, α=0, এবং β=20^\circ.

তাহলে:

\[ \sum_{k=0}^{9} \cos(0 + 20^\circ \times k) = \frac{\sin \left(\frac{10 \times 20^\circ}{2}\right)}{\sin \left(\frac{20^\circ}{2}\right)} \times \cos \left(0 + \frac{(10-1) \times 20^\circ}{2}\right) \]

এখানে:

\[ \frac{\sin (100^\circ)}{\sin (10^\circ)} \times \cos (90^\circ) \]

এবং, cos 90° = 0, তাই:

\[ \sum_{k=0}^{9} \cos(20^\circ \times k) = 0 \]

অতএব, মূল সমষ্টি:

\[ S = 5 + \frac{1}{2} \times 0 = 5 \]

অতএব, উত্তর হল: 5.