(3, 5) হতে 12x + 5y + k = 0 রেখার লম্ব দূরত্ব 4 একক হলে k =?

প্রশ্ন অনুযায়ী, রেখার সমীকরণ হলো:

\( 12x + 5y + k = 0 \)

এবং এটি থেকে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \( (3, 5) \) দিয়ে যায়।

প্রথমে, এই বিন্দুটি রেখার সমীকরণের উপর রয়েছে বলে ধরে নিই।

অতএব, বিন্দুটি রেখার সমীকরণে বসিয়ে সমাধান করি:

\( 12(3) + 5(5) + k = 0 \)

\( 36 + 25 + k = 0 \)

\( 61 + k = 0 \)

অতএব,

\( k = -61 \)

কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে, রেখার লম্ব দূরত্ব (perpendicular distance) 4 একক।

রেখার সমীকরণ: \( Ax + By + C = 0 \) এ ক্ষেত্রে, দূরত্ব সূত্র হলো:

\( d = \left| \frac{A x_0 + B y_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right| \)

এখানে, \( (x_0, y_0) = (3, 5) \), \( A = 12 \), \( B = 5 \), এবং \( C = k \)।

দূরত্ব \( d = 4 \), সুতরাং:

\( 4 = \left| \frac{12 \times 3 + 5 \times 5 + k}{\sqrt{12^2 + 5^2}} \right| \)

সাধারণ করে নিই:

\( 4 = \left| \frac{36 + 25 + k}{\sqrt{144 + 25}} \right| \)

\( 4 = \left| \frac{61 + k}{\sqrt{169}} \right| \)

\( 4 = \left| \frac{61 + k}{13} \right| \)

এখন, দুইটি সমাধান হতে পারে:

প্রথম,

\( \frac{61 + k}{13} = 4 \)

অর্থাৎ,

\( 61 + k = 52 \)

অতএব,

\( k = 52 - 61 = -9 \)

দ্বিতীয়,

\( \frac{61 + k}{13} = -4 \)

অর্থাৎ,

\( 61 + k = -52 \)

অতএব,

\( k = -52 - 61 = -113 \)

তবে, প্রশ্নে নির্ধারিত দূরত্ব 4 একক হলে, উপযুক্ত মান হচ্ছে \( k = -9 \)।

অতএব, উত্তর হলো: -9