Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রথমে দুইটি রেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে:
\[
4y = 3(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}(x - 4)
\]
\[
4y = 3(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}(x - 1)
\]
এখানে, রেখাগুলির সমীকরণ দুটির ধ্রুবক পার্থক্য হলো:
\[
y_2 - y_1 = \frac{3}{4}(x - 1) - \frac{3}{4}(x - 4)
\]
সরলীকরণ:
\[
= \frac{3}{4} \left[ (x - 1) - (x - 4) \right]
\]
\[
= \frac{3}{4} \left[ x - 1 - x + 4 \right]
\]
\[
= \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4}
\]
এখন, রেখাগুলির মধ্যে মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করতে হলে, দুই রেখার সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করা হবে। যেহেতু রেখাগুলির ধ্রুবক পার্থক্য \(d\), এবং তারা সমান্তরাল, তাই:
\[
\text{লম্ব দূরত্ব} = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
তবে, এখানে রেখাগুলির সমীকরণ:
\[
y = \frac{3}{4}x - 3 \quad \text{(রেখা 1)}
\]
\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} \quad \text{(রেখা 2)}
\]
এখানে, \(a = -\frac{3}{4}\), \(b = 1\), এবং ধ্রুবক পার্থক্য:
\[
c_1 = -3, \quad c_2 = -\frac{3}{4}
\]
অর্থাৎ, রেখাগুলির ধ্রুবক পার্থক্য:
\[
|c_2 - c_1| = \left| -\frac{3}{4} - (-3) \right| = \left| -\frac{3}{4} + 3 \right| = \left| \frac{-3 + 12}{4} \right| = \frac{9}{4}
\]
এবং, সাধারণত, সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বের সূত্র:
\[
d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
এখানে, \(a = \frac{3}{4}\), \(b= -1\):
\[
d = \frac{\frac{9}{4}}{\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1^2}} = \frac{\frac{9}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16} + 1}}
\]
সরলীকরণ:
\[
= \frac{\frac{9}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{16}}} = \frac{\frac{9}{4}}{\sqrt{\frac{25}{16}}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{9}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{9}{5}
\]
অতএব, দুই রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব হলো:
\[
\boxed{\frac{9}{5} \text{ একক}}
\]
