4y = 3(x-4) এবং 4y = 3(x-1) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রথমে দুইটি রেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: \[ 4y = 3(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}(x - 4) \] \[ 4y = 3(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}(x - 1) \] এখানে, রেখাগুলির সমীকরণ দুটির ধ্রুবক পার্থক্য হলো: \[ y_2 - y_1 = \frac{3}{4}(x - 1) - \frac{3}{4}(x - 4) \] সরলীকরণ: \[ = \frac{3}{4} \left[ (x - 1) - (x - 4) \right] \] \[ = \frac{3}{4} \left[ x - 1 - x + 4 \right] \] \[ = \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4} \] এখন, রেখাগুলির মধ্যে মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করতে হলে, দুই রেখার সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করা হবে। যেহেতু রেখাগুলির ধ্রুবক পার্থক্য \(d\), এবং তারা সমান্তরাল, তাই: \[ \text{লম্ব দূরত্ব} = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] তবে, এখানে রেখাগুলির সমীকরণ: \[ y = \frac{3}{4}x - 3 \quad \text{(রেখা 1)} \] \[ y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} \quad \text{(রেখা 2)} \] এখানে, \(a = -\frac{3}{4}\), \(b = 1\), এবং ধ্রুবক পার্থক্য: \[ c_1 = -3, \quad c_2 = -\frac{3}{4} \] অর্থাৎ, রেখাগুলির ধ্রুবক পার্থক্য: \[ |c_2 - c_1| = \left| -\frac{3}{4} - (-3) \right| = \left| -\frac{3}{4} + 3 \right| = \left| \frac{-3 + 12}{4} \right| = \frac{9}{4} \] এবং, সাধারণত, সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বের সূত্র: \[ d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] এখানে, \(a = \frac{3}{4}\), \(b= -1\): \[ d = \frac{\frac{9}{4}}{\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1^2}} = \frac{\frac{9}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16} + 1}} \] সরলীকরণ: \[ = \frac{\frac{9}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{16}}} = \frac{\frac{9}{4}}{\sqrt{\frac{25}{16}}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{9}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \] অতএব, দুই রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব হলো: \[ \boxed{\frac{9}{5} \text{ একক}} \]