4x - 3y + 2 = 0 এবং 8x - 6y - 9 = 0 রেখাদ্বয়ের মধ‍্যবর্তী দুরত্ব কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

4x - 3y + 2 = 0 এবং 8x - 6y - 9 = 0 রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব কত?

উত্তর:

প্রথমে, দুই রেখার সমীকরণ লিখি:

R₁: 4x - 3y + 2 = 0
R₂: 8x - 6y - 9 = 0

ধাপ ১: রেখাগুলোর সমীকরণ সমান রূপে লিখি

দুটো রেখা একই লাইনে থাকলে, R₂ কে R₁ এর গুণফল হিসেবে লেখা যায়:

R₂ = 2 × R₁: 2(4x - 3y + 2) = 8x - 6y + 4

অর্থাৎ, R₂ এর সমীকরণটি হচ্ছে:

8x - 6y + 4 = 0

এখন, R₂ এর আসল সমীকরণ: 8x - 6y - 9 = 0 অর্থাৎ, এটি R₁ এর গুণফল নয়; এই জন্য, দুই রেখা সমান্তরাল ও আলাদা।

ধাপ ২: দুই রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়

দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে রেখার সাধারণ সমীকরণ লিখি:

R₁: 4x - 3y + 2 = 0
R₂: 8x - 6y - 9 = 0

দ্রষ্টব্য: দুই রেখার সমীকরণ গুণফল নয়, তবে তারা সমান্তরাল। কারণ, R₂ এর সমীকরণটি R₁ এর গুণফল নয়, তবে তাদের সমান্তরাল থাকার জন্য, তাদের সাধারণ সমীকরণের কোঅফিসিয়েন্টগুলো অনুপাত সমান হওয়া দরকার। যাচাই করি:

(8/4) = 2, ( -6/ -3) = 2, ( -9/ 2) ≠ 2

অর্থাৎ, এই দুই রেখা সমান্তরাল নয়, কারণ তাদের সমান কোঅফিসিয়েন্টের অনুপাত নয়। তাহলে, দুই রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে রেখাগুলোর সাধারণ সমীকরণ থেকে ডিফারেন্স নিয়ে দূরত্ব সূত্র প্রয়োগ করবো।

ধাপ ৩: রেখাগুলোর সাধারণ সমীকরণ থেকে দূরত্ব সূত্র প্রয়োগ

দুটি রেখার সমীকরণ:

A₁x + B₁y + C₁ = 0
A₂x + B₂y + C₂ = 0

দূরত্ব: \[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] যেখানে, A ও B দুই রেখার সমীকরণের A ও B অংশ (প্রথম রেখার জন্য)। উপরন্তু, দুই রেখার সমীকরণ যদি সমান্তরাল হয়: \[ A_1 : 4, \quad B_1 : -3, \quad C_1 : 2 \] \[ A_2 : 8, \quad B_2 : -6, \quad C_2 : -9 \] দেখি, এই দুই রেখার সমীকরণ গুণফল নয়, তবে সমান্তরাল হলে, A₁:B₁ = A₂:B₂:

4 / -3 ≠ 8 / -6 (কারণ 4 / -3 ≠ 8 / -6)

অর্থাৎ, রেখাগুলো সমান্তরাল নয়। তবে, মূল লক্ষ্য হলো রেখাগুলোর মধ্যে দুরত্ব নির্ণয়।

ধাপ ৪: মূল রেখার সমীকরণ থেকে দূরত্ব নির্ণয়

আমাদের মূল রেখাগুলো হলো: - \( R_1: 4x - 3y + 2 = 0 \) - \( R_2: 8x - 6y - 9 = 0 \) এটি দেখতে পাচ্ছি, দ্বিতীয়টি প্রথমের গুণফল নয়, তাই তারা সমান্তরাল নয়। তবে, আমরা দেখতে পারি, মূল দুটি রেখার সমীকরণ থেকে দূরত্ব নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, রেকর্ড করি যে, রেখাগুলোর সাধারণ সমীকরণ: - \( A_1 = 4, B_1 = -3, C_1 = 2 \) - \( A_2 = 8, B_2 = -6, C_2 = -9 \) এবং, রেখাগুলোর সমান্তরাল নয় বলে, তাদের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য, আমরা একটি রেখার উপর একটি পয়েন্ট নিয়ে অন্য রেখার থেকে দূরত্ব নির্ণয় করবো।

ধাপ ৫: একটি রেখা থেকে অন্যের দূরত্ব নির্ণয় করুন

R₂ রেখার সমীকরণ: \[ 8x - 6y - 9 = 0 \] এবং, R₁ রেখার সমীকরণ: \[ 4x - 3y + 2 = 0 \] দুটি রেখার সমীকরণের সাহায্যে, R₂ কে R₁ এর গুণফল হিসেবে লিখতে পারি না, তবে, দুই রেখার মধ্যে দুরত্ব নির্ণয় করতে, আমরা R₁ এর সাধারণ পয়েন্ট থেকে R₂ এর সমীকরণে দূরত্ব সূত্র ব্যবহার করবো। চলুন, R₁ রেখার একটি সাধারণ পয়েন্ট নির্ণয় করি। অর্থাৎ, x = 0 দিলে, \[ 4(0) - 3y + 2 = 0 \implies -3y = -2 \implies y = \frac{2}{3} \] অথবা, y = 0 দিলে, \[ 4x + 2 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \] তাহলে, পয়েন্ট G(-1/2, 0) বা P(0, 2/3) নেওয়া যেতে পারে। আমরা P(0, 2/3) পয়েন্টটি নিয়ে R₂ এর থেকে দূরত্ব নির্ণয় করব। দূরত্ব সূত্র: \[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] এখানে, \(A=8, B=-6, C=-9\), এবং পয়েন্ট \( (x_0, y_0) = (0, 2/3) \): \[ d = \frac{|8(0) - 6(\frac{2}{3}) - 9|}{\sqrt{8^2 + (-6)^2}} \] \[ = \frac{|0 - 4 - 9|}{\sqrt{64 + 36}} = \frac{|-13|}{\sqrt{100}} = \frac{13}{10} \] অতএব, দুই রেখার মধ্যবর্তী দুরত্ব হলো \(\frac{13}{10}\)।

উত্তর:

দুই রেখার মধ্যে মধ্যবর্তী দুরত্ব হলো \(\frac{13}{10}\)।