m এর মান কত হলে  x+my+1=0 ও m²x-4y+4=0 রেখা দুইটি পরস্পর লম্বা হবে? 

প্রদত্ত দুটি রেখা:

1. \( x + my + 1 = 0 \)

2. \( m^2 x - 4 y + 4 = 0 \)

দুটি রেখা পরস্পর লম্বা হবে যদি তাদের ধ্রুবকভেদ (normal vectors) একে অপরের লম্ব হয়।

ধাপ ১: রেখাগুলির সাধারণ রূপ

প্রথম রেখা: \( x + my + 1 = 0 \)

এখানে, সাধারণ রূপ: \( A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \) অর্থাৎ, \( A_1 = 1 \), \( B_1 = m \), \( C_1 = 1 \)

দ্বিতীয় রেখা: \( m^2 x - 4 y + 4 = 0 \)

এখানে, \( A_2 = m^2 \), \( B_2 = -4 \), \( C_2 = 4 \)

ধাপ ২: রেখাগুলির লম্ব হওয়ার শর্ত

দুটি রেখার ধ্রুবকভেদ (normal vectors) হলে:

\( \vec{n}_1 = (A_1, B_1) = (1, m) \)

\( \vec{n}_2 = (A_2, B_2) = (m^2, -4) \)

এবং, রেখাগুলি পরস্পর লম্ব হলে:

\( \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \)

ধাপ ৩: ডট প্রোডাক্ট নির্ণয়

\( (1)(m^2) + (m)(-4) = 0 \)

অর্থাৎ,

\( m^2 - 4m = 0 \)

ধাপ ৪: সমাধান

ফ্যাক্টরাইজ করুন:

\( m(m - 4) = 0 \)

অতএব,

\( m = 0 \) অথবা \( m = 4 \)

ধাপ ৫: রেখাগুলির লম্বা হওয়ার জন্য মান নির্ণয়

প্রতিটি রেখার দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা নির্ণয় হয় না, কারণ রেখাগুলির লম্বা বা ছোট হওয়ার মানের জন্য তাদের ধ্রুবকভেদ (normal vector) ব্যবহার করা হয়।

অতএব, রেখা দুটি লম্ব হলে, \( m \) এর মান হতে পারে 0 বা 4।

উত্তর:

m এর মান হতে পারে: \( 0 \) বা \( 4 \)

উত্তরের তালিকা: 0, 4