(√3, 1) বিন্দু হতে √3x - y + 8 = 0 সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য P এবং লম্ব রেখাটি x-অক্ষের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করলে—

P এর মান কত? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, বিন্দু \( ( \sqrt{3}, 1) \) থেকে সরলরেখা \( \sqrt{3}x - y + 8 = 0 \) এর উপর লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য \( P \) এবং এই লম্ব রেখাটি x-অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ \( \theta \)।

ধাপ ১: সরলরেখার সমীকরণ ও বিন্দু থেকে দূরত্বের সূত্র

সরলরেখার সমীকরণ: \[ \sqrt{3}x - y + 8 = 0 \] বিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব: \[ d = \frac{| \sqrt{3} \cdot x_0 - y_0 + 8 |}{\sqrt{ (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 }} \] এখানে, \( (x_0, y_0) = (\sqrt{3}, 1) \): \[ d = \frac{| \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 + 8 |}{\sqrt{ 3 + 1 }} = \frac{| 3 - 1 + 8 |}{2} = \frac{| 10 |}{2} = 5 \] এখানে, এই দূরত্বই লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য \( P \), কারণ লম্ব রেখা এই বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর লম্বভাবে অঙ্কিত।

ধাপ ২: লম্ব রেখার কোণ \( \theta \) নির্ণয়

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ: \[ \sqrt{3}x - y + 8 = 0 \] এর ঢাল: \[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{y-সহঅক্ষের পরিবর্তন}}{\text{x-সহঅক্ষের পরিবর্তন}} \] সরলরেখার ঢাল: \[ m = \frac{dy}{dx} = \text{রেখার সমীকরণের ঢাল} = \frac{\text{প্রতীক} y}{x} \ এর সাথে সম্পর্কিত নয়। তবে, সরলরেখার সাধারণ ধ্রুবক ঢাল \( m \): \[ \text{প্রতীক} y = \sqrt{3}x + c \] অতএব, ঢাল: \[ m = \sqrt{3} \] এবং, এই লম্ব রেখার সঙ্গে x-অক্ষের কোণের জন্য: \[ \tan \theta = \frac{1}{m} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] অর্থাৎ: \[ \theta = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 30^\circ \]

উপসংহার:

লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য \( P = 5 \)। **অতএব, উত্তরঃ**
5