x²+y²=a² বৃত্তের এমন দুটি স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর যারা পরস্পর লম্ব- 

Explanation:

Another Explanation (5):

বৃত্তের স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয়

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 = a^2 \) ধরি, বৃত্তের উপর \( (x_1, y_1) \) একটি বিন্দু। সুতরাং, \( x_1^2 + y_1^2 = a^2 \) হবে। \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: \( xx_1 + yy_1 = a^2 \) ।
এখন, \( xx_1 + yy_1 = a^2 \) সরলরেখাটিকে \( y = mx + c \) আকারে লিখলে পাই, \( y = -\frac{x_1}{y_1}x + \frac{a^2}{y_1} \) যেহেতু এটি \( x^2 + y^2 = a^2 \) বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই \( c^2 = a^2(1 + m^2) \) হবে। এক্ষেত্রে, \( c = \frac{a^2}{y_1} \) এবং \( m = -\frac{x_1}{y_1} \) সুতরাং, \( (\frac{a^2}{y_1})^2 = a^2(1 + (-\frac{x_1}{y_1})^2) \) \( \Rightarrow \frac{a^4}{y_1^2} = a^2(1 + \frac{x_1^2}{y_1^2}) \) \( \Rightarrow a^2 = y_1^2 + x_1^2 \)
ধরি, \( y = m_1 x + c_1 \) ও \( y = m_2 x + c_2 \) দুটি লম্ব স্পর্শক। যেহেতু স্পর্শক দুটি লম্ব, \( m_1 m_2 = -1 \) হবে। \( c_1^2 = a^2(1 + m_1^2) \) এবং \( c_2^2 = a^2(1 + m_2^2) \) ধরি, স্পর্শকদ্বয়ের ছেদবিন্দু \( (h, k) \) সুতরাং, \( k = m_1 h + c_1 \) এবং \( k = m_2 h + c_2 \) \( \Rightarrow c_1 = k - m_1 h \) এবং \( c_2 = k - m_2 h \) এখন, \( (k - m_1 h)^2 = a^2(1 + m_1^2) \) \( \Rightarrow k^2 - 2m_1hk + m_1^2 h^2 = a^2 + a^2 m_1^2 \) \( \Rightarrow m_1^2(h^2 - a^2) - 2m_1hk + (k^2 - a^2) = 0 \) এটি \( m_1 \) এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সুতরাং এর দুইটি মূল \( m_1 \) ও \( m_2 \) আছে। আমরা জানি, \( m_1 m_2 = \frac{k^2 - a^2}{h^2 - a^2} \) যেহেতু \( m_1 m_2 = -1 \) \( \Rightarrow \frac{k^2 - a^2}{h^2 - a^2} = -1 \) \( \Rightarrow k^2 - a^2 = -h^2 + a^2 \) \( \Rightarrow h^2 + k^2 = 2a^2 \) সুতরাং, ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ \( x^2 + y^2 = 2a^2 \) । 🎉