x²+y²+8x-10y+5=0 বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশের পরিমাণ কত?

বৃত্তের সমীকরণ:

\(x^2+y^2+8x-10y+5=0\)

y-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশের পরিমাণ নির্ণয় করতে হবে। y-অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর ভুজ (x) = 0

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণে x = 0 বসিয়ে পাই,

\(0^2 + y^2 + 8 \cdot 0 - 10y + 5 = 0\)

\(\implies y^2 - 10y + 5 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এই সমীকরণের মূল \(y_1\) ও \(y_2\) হলে, মূলদ্বয় হবে y-অক্ষকে ছেদ করা বিন্দুগুলোর y-স্থানাঙ্ক।

y-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশের পরিমাণ = \(\left|y_1 - y_2\right|\)

আমরা জানি, \( (y_1 - y_2)^2 = (y_1 + y_2)^2 - 4y_1y_2 \)

দ্বিঘাত সমীকরণ \(ay^2 + by + c = 0\) এর মূল \(y_1\) ও \(y_2\) হলে,

\(y_1 + y_2 = -\frac{b}{a}\) এবং \(y_1y_2 = \frac{c}{a}\)

এখানে, \(y^2 - 10y + 5 = 0\) সমীকরণের জন্য,

\(y_1 + y_2 = -\frac{-10}{1} = 10\)

\(y_1y_2 = \frac{5}{1} = 5\)

সুতরাং, \( (y_1 - y_2)^2 = (10)^2 - 4 \cdot 5 = 100 - 20 = 80 \)

\(\implies \left|y_1 - y_2\right| = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\)

অতএব, বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশের পরিমাণ \(4\sqrt{5}\) একক। 🎉