y=mx+c রেখাটির যেকোনো বিন্দু থেকে (3,0) এবং (-4,0) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, রেখাটি দ্বারা y অক্ষের কর্তিত অংশ কত?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \(y = mx + c\) রেখাটির উপর অবস্থিত যেকোনো একটি বিন্দু \(P(x, y)\)। যেহেতু \(P\) বিন্দু থেকে \(A(3, 0)\) এবং \(B(-4, 0)\) এর দূরত্ব সমান, তাই \(PA = PB\) হবে। অতএব, \(\sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x+4)^2 + (y-0)^2}\) উভয় দিকে বর্গ করে পাই, \((x-3)^2 + y^2 = (x+4)^2 + y^2\) \(\implies x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + 8x + 16 + y^2\) \(\implies -6x + 9 = 8x + 16\) \(\implies 14x = -7\) \(\implies x = -\frac{1}{2}\) যেহেতু \(P(x, y)\) বিন্দুটি \(y = mx + c\) সরলরেখার উপর অবস্থিত, তাই \(x = -\frac{1}{2}\) হলে, \(y = m(-\frac{1}{2}) + c\) হবে। আবার, যেহেতু \(PA = PB\), তাই \(P\) বিন্দুটি \(A\) ও \(B\) এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত। \(A(3, 0)\) ও \(B(-4, 0)\) এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ হবে \(x = \frac{3 + (-4)}{2} = -\frac{1}{2}\)। এখন, \(x = -\frac{1}{2}\) কে \(y = mx + c\) সমীকরণে বসালে পাই, \(y = m(-\frac{1}{2}) + c\) \(\implies 2y = -m + 2c\) যেহেতু \(P\) বিন্দু থেকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর দূরত্ব সমান, তাই \(y = mx + c\) রেখাটি \(A\) ও \(B\) এর মধ্যবিন্দু \((-\frac{1}{2}, 0)\) দিয়ে যাবে। সুতরাং, \(0 = m(-\frac{1}{2}) + c\) \(\implies c = \frac{m}{2}\) y অক্ষের ছেদবিন্দু বের করতে হলে, \(x = 0\) বসাতে হবে। সেক্ষেত্রে, \(y = m(0) + c = c\) \(c = \frac{m}{2}\) হওয়ায় \(y = \frac{m}{2}\)। এখন, যদি \(m = 0\) হয়, তবে \(c = 0\) হবে। অন্যথায়, \(y\) এর মান \(0\) হবে না।🤔 যদি রেখাটি \(y\) অক্ষকে \(c\) বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে \((0, c)\) বিন্দুটি \((3, 0)\) ও \((-4, 0)\) থেকে সমদূরবর্তী হবে। সেক্ষেত্রে, \(\sqrt{(3-0)^2 + (0-c)^2} = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-c)^2}\) \(\implies 9 + c^2 = 16 + c^2\) \(\implies 9 = 16\) ❌যা সম্ভব নয়। তবে, যেহেতু \(x = -1/2\) সুতরাং \(y = m(-1/2) + c\) আবার \(x = -1/2\) হলে \(PA = PB\) হয়। অর্থাৎ \((-\frac{1}{2}, 0)\) এই রেখার উপর অবস্থিত। সুতরাং, \(0 = m(-\frac{1}{2}) + c\) \(c = \frac{m}{2}\) y অক্ষের ছেদক \(c\) এর মান \(\frac{m}{2}\)। কিন্তু \(y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(0\) হবে যদি \(m=0\) হয়।🎉 y অক্ষের কর্তিত অংশ 0 হবে।✅