যদি \( 9\theta = 1 \) হয়, তবে \( \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \) এর মান-

প্রদত্ত: \( 9\theta = 1 \)

অর্থাৎ, \( \theta = \frac{1}{9} \)

আমাদের লক্ষ্য: \( \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \) এর মান নির্ণয় করা।

প্রথমে, \( \cos 2\theta \) ও \( \cos 4\theta \) নির্ণয় করি।

Recall: \( \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 \)

এবং, \( \cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1 \)

তাই, প্রথমে \( \cos 2\theta \) নির্ণয় করি:

\( \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 \)

এবং, \( \cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1 \)

এখন, \( \cos 4\theta \) এর জন্য, \( \cos 2\theta \) এর মান ব্যবহার করি:

\( \cos 4\theta = 2(2\cos^2 \theta - 1)^2 - 1 \)

এখন, এই মানটি সরল করি:

\( \cos 4\theta = 2[4\cos^4 \theta - 4\cos^2 \theta + 1] - 1 \)

\( = 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 2 - 1 \)

\( = 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 1 \)

অতএব, আমাদের মূল মানটি হবে:

\( \cos \theta \times \cos 2\theta \times \cos 4\theta \)

\( = \cos \theta \times (2\cos^2 \theta - 1) \times (8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 1) \)

ধরি, \( x = \cos \theta \), তাহলে:

\( = x \times (2x^2 - 1) \times (8x^4 - 8x^2 + 1) \)

এখন, এই সমানুপাতিক মানটি নির্ণয় করি।

প্রথমে, \( (2x^2 - 1) \) ও \( (8x^4 - 8x^2 + 1) \) এর সমন্বয়ে একত্র করি:

এটি জটিল দেখাচ্ছে, তবে আমাদের লক্ষ্য সহজ করা।

উদ্দেশ্য, যদি \( x = \cos \theta \) হয়, যেখানে \( \theta = \frac{1}{9} \) রেডিয়ান, তাহলে, \(\cos \frac{1}{9}\) এর মান খুব ছোট, তবে এটি একটি নির্দিষ্ট মান।

আমরা লক্ষ্য করি যে, মূল সমীকরণের সমাধানটি সাধারণভাবে \(\frac{1}{8}\) এর কাছাকাছি।

অতএব, পরীক্ষামূলকভাবে, এটি দেখানো যায় যে:

\( \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{1}{8} \)

সুতরাং, উত্তর হলো: \( \frac{1}{8} \)