a এর মান কত হলে y=ax(1-x) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে x অক্ষের সাথে 60° উৎপন্ন করবে?

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে \( y=ax(1-x) \) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে x অক্ষের সাথে \( 60^\circ \) কোণ উৎপন্ন করবে?

সমাধান:

বক্ররেখাটি হলো: \( y = ax(1-x) = ax - ax^2 \)

মূলবিন্দুতে \( x \) অক্ষের সাথে \( 60^\circ \) কোণ উৎপন্ন করার অর্থ হলো, মূলবিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের ঢাল \( \tan 60^\circ \) এর সমান।

আমরা জানি, \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)

এখন, \( y \) এর \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করি:

\( \frac{dy}{dx} = a - 2ax \)

মূলবিন্দুতে \( x = 0 \), সুতরাং,

\( \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = a - 2a(0) = a \)

যেহেতু মূলবিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \sqrt{3} \), তাই,

\( a = \pm\sqrt{3} \) 🤔

অতএব, \( a \) এর মান \( \pm \sqrt{3} \) হলে \( y=ax(1-x) \) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে x অক্ষের সাথে \( 60^\circ \) কোণ উৎপন্ন করবে।

উত্তর: \( \pm \sqrt{3} \) 🎉