k-এর কোন মানের জন্য 2x - y + 7 = 0 এবং 3x + ky - 5 = 0 সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
সঠিক উত্তরঃ
D.
6
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে দুটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো:
- প্রথম রেখা: \( 2x - y + 7 = 0 \)
- দ্বিতীয় রেখা: \( 3x + ky - 5 = 0 \)
এখন, দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ঢাল বা স্লোপের অনুপাত বা কোণ ৯০° হয়।
প্রথম রেখার স্লোপ:
প্রথম রেখার সমীকরণকে সাধারণ রূপে লিখলে:
\[ y = 2x + 7 \] অথবা, এর ঢাল হলো \( m_1 = 2 \)।দ্বিতীয় রেখার স্লোপ:
দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ থেকে,
\[ 3x + ky - 5 = 0 \] \[ => ky = -3x + 5 \] \[ => y = -\frac{3}{k}x + \frac{5}{k} \] অর্থাৎ, এর ঢাল হলো \( m_2 = -\frac{3}{k} \)।পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত:
দুটো সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালের গুণফল -1 হবে। অর্থাৎ:
\[ m_1 \times m_2 = -1 \] \[ 2 \times \left(-\frac{3}{k}\right) = -1 \]সমাধান:
\[ -\frac{6}{k} = -1 \] \[ \frac{6}{k} = 1 \] \[ k = 6 \]উত্তর:
অতএব, যখন \( k = 6 \), তখন দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হবে।