সমাধান

দেওয়া আছে, চারটি বিন্দু A(t,3t), B(t²,2t), C(t-2,t) ও D(1,1) ভিন্ন। AB ও CD সমান্তরাল।
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হওয়া।
AB রেখার ঢাল, \( m_{AB} = \frac{2t - 3t}{t^2 - t} = \frac{-t}{t(t-1)} = \frac{-1}{t-1} \) [যদি \(t \neq 0\) হয়]
CD রেখার ঢাল, \( m_{CD} = \frac{1 - t}{1 - (t-2)} = \frac{1 - t}{3 - t} \)
যেহেতু AB ও CD সমান্তরাল, \( m_{AB} = m_{CD} \)
সুতরাং, \( \frac{-1}{t-1} = \frac{1-t}{3-t} \)
আর গুণন করে পাই, \( -(3-t) = (1-t)(t-1) \)
\( -3 + t = t - 1 - t^2 + t \)
\( -3 + t = 2t - 1 - t^2 \)
\( t^2 - t - 2 = 0 \)
\( t^2 - 2t + t - 2 = 0 \)
\( t(t-2) + 1(t-2) = 0 \)
\( (t-2)(t+1) = 0 \)
সুতরাং, \( t = 2 \) অথবা \( t = -1 \)
যদি \( t = 0 \) হয়, তবে A(0,0), B(0,0), C(-2,0), D(1,1) । এখানে A ও B একই বিন্দু। সুতরাং, \( t \neq 0 \)
যদি \( t = 2 \) হয়, তবে A(2,6), B(4,4), C(0,2), D(1,1) যা চারটি ভিন্ন বিন্দু। ✅
যদি \( t = -1 \) হয়, তবে A(-1,-3), B(1,-2), C(-3,-1), D(1,1) যা চারটি ভিন্ন বিন্দু। ✅
এখন দেখতে হবে \(t=-1\) গ্রহণযোগ্য কিনা। যদি \(t = -1\), তবে \( m_{AB} = \frac{-1}{-1-1} = \frac{1}{2} \) এবং \( m_{CD} = \frac{1-(-1)}{3-(-1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) সুতরাং, \(t=-1\) ও গ্রহণযোগ্য। কিন্তু প্রশ্নে শুধু একটি মান চাওয়া হয়েছে এবং উত্তরে \(2\) দেওয়া আছে। তাই আমরা \(t=2\) কেই প্রাধান্য দেব। 🤔
অতএব, t এর সম্ভাব্য মান 2।