y² = x² (a-x) বক্ররেখার যে বিন্দুতে স্পর্শক y-অক্ষের সমান্তরাল এবং x- অক্ষের উপর অবস্থিত তার স্থানাঙ্ক কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(y^2 = x^2 (a-x)\) বক্ররেখার যে বিন্দুতে স্পর্শক \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং \(x\)- অক্ষের উপর অবস্থিত তার স্থানাঙ্ক কত?

সমাধান:

ধরি, বক্ররেখার উপর \( (x, y) \) একটি বিন্দু। বক্ররেখার সমীকরণ: \(y^2 = x^2 (a-x)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই: \[ 2y \frac{dy}{dx} = 2x(a-x) + x^2(-1) \] \[ 2y \frac{dy}{dx} = 2ax - 2x^2 - x^2 \] \[ 2y \frac{dy}{dx} = 2ax - 3x^2 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2ax - 3x^2}{2y} \] যেহেতু স্পর্শক \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল, তাই \(\frac{dx}{dy} = 0\) হবে। এর মানে \(\frac{dy}{dx}\) অসীম হবে। অতএব, \(2y = 0\) হতে হবে, অর্থাৎ \(y = 0\)। এখন, \(y = 0\) বক্ররেখার সমীকরণে বসিয়ে পাই: \[ 0^2 = x^2 (a-x) \] \[ 0 = x^2 (a-x) \] সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = a\) যদি \(x = 0\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx} = \frac{0}{0}\) যা অনির্ণেয়। সুতরাং, \(x = 0\) গ্রহণযোগ্য নয়। যদি \(x = a\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx} = \frac{2a^2 - 3a^2}{0} = \frac{-a^2}{0}\) যা অসীম। যেহেতু বিন্দুটি \(x\)-অক্ষের উ??র অবস্থিত, তাই এর স্থানাঙ্ক \( (a, 0) \) হবে। অতএব, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো \( (a, 0) \)। 🎉 ```