\( M = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \) হলে \( M^{-1} \) সমান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, ম্যাট্রিক্স \( M \) এর ডিটারমিন্যান্ট (\( \det M \)) গণনা করি: \[ \det M = (1)(5) - (-2)(-3) = 5 - 6 = -1 \] এখন, \( M \) এর ইনভার্স হিসেব করার জন্য, আমরা ডিটারমিন্যান্টের সাথে অপ্রজেক্টেড ম্যাট্রিক্স (adjugate matrix) এর মান ব্যবহার করবো: \[ M^{-1} = \frac{1}{\det M} \times \text{adj}(M) \] অ্যাজুগেট ম্যাট্রিক্স হিসেব করি: \[ \text{adj}(M) = \begin{bmatrix} \text{Cofactor}_{11} & \text{Cofactor}_{12} \\ \text{Cofactor}_{21} & \text{Cofactor}_{22} \end{bmatrix}^T \] প্রতিটি কফ্যাক্টর নির্ণয় করি: \[ \text{Cofactor}_{11} = (+1)^{1+1} \times \det \begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix} = 5 \] \[ \text{Cofactor}_{12} = (+1)^{1+2} \times \det \begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} = -(-3) = 3 \] \[ \text{Cofactor}_{21} = (+1)^{2+1} \times \det \begin{bmatrix} -2 \end{bmatrix} = -(-2) = 2 \] \[ \text{Cofactor}_{22} = (+1)^{2+2} \times \det \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} = 1 \] অ্যাজুগেট ম্যাট্রিক্স: \[ \text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \] সুতরাং, \[ M^{-1} = \frac{1}{-1} \times \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} \] অতএব, উত্তর হলো:

<table>
<tbody>
<tr><td><b>উত্তর:</b></td><td> <math>\begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}</math> </td></tr>
</tbody>
</table>