\( \left[ \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} \right] \) বিপরীত ম্যাট্রিক্স নিচের কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে আমাদের দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি হলো: \[ A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \] অপ্রতিবর্তন ম্যাট্রিক্স (Inverse matrix) খুঁজে বের করতে, আমরা প্রথমে এর ডিটারমিন্যান্ট হিসেব করব:

ডিটারমিন্যান্ট (Determinant):

\[ \det(A) = (4)(2) - (3)(3) = 8 - 9 = -1 \]

Inverse এর সূত্র:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{adj}(A) \] যেখানে, adj(A) হলো অ্যাডজজেন্ট ম্যাট্রিক্স। এটি পাওয়ার জন্য, প্রথমে ম্যাট্রিক্সের মিনর এবং কো-ফ্যাক্টর হিসেব করতে হবে। প্রথমে, ম্যাট্রিক্সের মিনর গুলো: \[ M_{11} = \det \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix} = 2 \] \[ M_{12} = \det \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} = 3 \] \[ M_{21} = \det \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} = 3 \] \[ M_{22} = \det \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} = 4 \] কো-ফ্যাক্টর গুলো: \[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \times M_{ij} \] অর্থাৎ: \[ C_{11} = (+1) \times 2 = 2 \] \[ C_{12} = (-1) \times 3 = -3 \] \[ C_{21} = (-1) \times 3 = -3 \] \[ C_{22} = (+1) \times 4 = 4 \] অ্যাডজজেন্ট ম্যাট্রিক্স: \[ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} \\ C_{12} & C_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} \] এখন, ইনভার্সের জন্য: \[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \times \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} = -1 \times \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} \] অর্থাৎ: \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \]

উত্তর:

\[ \boxed{ \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} } \] যা অপশনের সাথে মিলে যাচ্ছে।