cos(ax+b) এর n-তম অন্তরজ সহগ কত?
সঠিক উত্তরঃ
D.
a^ncos((nπ)/2+ax+b)
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \cos(ax + b) \) এর \( n \)-তম অন্তরজ সহগ কত?
সমাধান:
ধরা যাক, \( f(x) = \cos(ax + b) \)।
প্রথম অন্তরজ সহগের জন্য:
\[
f^{(1)}(x) = \frac{d}{dx} \cos(ax + b) = -a \sin(ax + b)
\]
দ্বিতীয় অন্তরজ সহগ:
\[
f^{(2)}(x) = \frac{d}{dx}(-a \sin(ax + b)) = -a \cdot a \cos(ax + b) = -a^2 \cos(ax + b)
\]
তৃতীয় অন্তরজ সহগ:
\[
f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx}(-a^2 \cos(ax + b)) = -a^2 \cdot (-a) \sin(ax + b) = a^3 \sin(ax + b)
\]
চতুর্থ অন্তরজ সহগ:
\[
f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}(a^3 \sin(ax + b)) = a^3 \cdot a \cos(ax + b) = a^4 \cos(ax + b)
\]
এখন দেখা যাচ্ছে যে, প্রতিটি ধাপের পরে এই ফাংশনের ধরন পরিবর্তিত হচ্ছে \( \cos \) ও \( \sin \) এর মধ্যে, এবং সহগের গুণফল \( a^n \) হচ্ছে।
অতএব, এই সিরিজের সাধারণ রূপ হলো:
\[
f^{(n)}(x) = a^n \times
\begin{cases}
\cos\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right), & \text{যেখানে \( n \) বিজোড় হলে } \sin \\
\cos\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right), & \text{যেখানে \( n \) জোড় হলে } \cos
\end{cases}
\]
অথবা, সাধারণ রূপে:
\[
f^{(n)}(x) = a^n \cos\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)
\]
এখানে, \( \cos \left( ax + b + \frac{n\pi}{2} \right) \) এর মান নির্ভর করে \( n \) এর উপর।
অতএব, **প্রশ্নের উত্তর** হ??ো:
\(\boxed{a^n \cos \left( ax + b + \frac{n\pi}{2} \right)}\)