x²+y²+6x+2y+6=0 এবং x²+y²+8x+y+10=0 বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

প্রশ্নে দুইটি বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হলো: \[ x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0 \quad \text{(1)} \] \[ x^2 + y^2 + 8x + y + 10 = 0 \quad \text{(2)} \] আমাদের কাজ হলো এই দুই বৃত্তের সাধারণ জ্যা (common chord) এর সমীকরণ নির্ণয় করা।

ধাপ ১ঃ

প্রতিটি বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি। বৃত্ত (1): \[ x^2 + 6x + y^2 + 2y = -6 \] সম্পূর্ণ বর্গ রূপে রূপান্তর করি: \[ x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x + 3)^2 - 9 \] \[ y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) - 1 = (y + 1)^2 - 1 \] অতএব, \[ (x + 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = -6 \] \[ (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = -6 + 9 + 1 = 4 \] সুতরাং, বৃত্ত (1) এর কেন্দ্র হলো \((-3, -1)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_1 = 2\)। বৃত্ত (2): \[ x^2 + 8x + y^2 + y = -10 \] সম্পূর্ণ বর্গ রূপে রূপান্তর করি: \[ x^2 + 8x = (x^2 + 8x + 16) - 16 = (x + 4)^2 - 16 \] \[ y^2 + y = (y^2 + y + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \] অতএব, \[ (x + 4)^2 - 16 + (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = -10 \] \[ (x + 4)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = -10 + 16 + \frac{1}{4} = 6 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \] সুতরাং, বৃত্ত (2) এর কেন্দ্র হলো \((-4, -\frac{1}{2})\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_2 = \frac{5}{2}\)।

ধাপ ২ঃ

গণনা করি, দুই বৃত্তের সাধারণ জ্যা বা সাধারণ সরলরেখার সমীকরণ। সাধারণভাবে, দুটি বৃত্তের সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 + 2g_1 x + 2f_1 y + c_1 = 0 \] \[ x^2 + y^2 + 2g_2 x + 2f_2 y + c_2 = 0 \] এর সাধারণ জ্যা হবে: \[ \text{(বৃত্ত ১)} - \text{(বৃত্ত ২)} = 0 \] অর্থাৎ, \[ (x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6) - (x^2 + y^2 + 8x + y + 10) = 0 \] সরল করে: \[ 6x + 2y + 6 - 8x - y - 10 = 0 \] \[ (6x - 8x) + (2y - y) + (6 - 10) = 0 \] \[ -2x + y - 4 = 0 \] অথবা, \[ y = 2x + 4 \] এটি স??ধারণ জ্যা বা সাধারণ সরলরেখার সমীকরণ।

উত্তর:

সাধারণ জ্যা বা সাধারণ সরলরেখার সমীকরণ হলো: \[ 2x - y + 4 = 0 \]