দুটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ x-2y+7=0। একটি বৃত্তের সমীকরণ 

x^2+y^2-4x+6y-36=0

বৃত্ত সংক্রান্ত সমস্যা 🧐

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ \(x-2y+7=0\)। একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\)। অপর বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো যা \((x^2+y^2-4x+6y-36=0)\) বৃত্তের সাথে \(x-2y+7=0\) জ্যা তৈরি করে এবং \(x^2+y^2-5x+4y-43=0\)

সমাধান:

ধরি, অপর বৃত্তটির সমীকরণ:

\(S_2 = x^2 + y^2 - 5x + 4y - 43 = 0 \)

আমরা জানি, বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ:

\(S_1 - S_2 = 0 \)

যেখানে, \(S_1 = x^2+y^2-4x+6y-36=0 \)

সুতরাং, সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ হবে:

\((x^2+y^2-4x+6y-36) - (x^2+y^2-5x+4y-43) = 0 \)

\(\implies x^2+y^2-4x+6y-36 - x^2 - y^2 + 5x - 4y + 43 = 0 \)

\(\implies x + 2y + 7 = 0 \)

কিন্তু আমাদের দেওয়া আছে সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ \(x - 2y + 7 = 0 \)।

সুতরাং, অপর বৃত্তটির সমীকরণ হবে:

\(S_1 + \lambda L = 0 \), যেখানে L হলো সাধারণ জ্যা।

\((x^2+y^2-4x+6y-36) + \lambda(x-2y+7) = 0 \)

অপর বৃত্তটি \(x^2+y^2-5x+4y-43=0\) সুতরাং এই বৃত্ত এবং \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা হবে \(x-2y+7=0\) 😎

তাহলে, ধরি অপর বৃত্তের সমীকরণ:

\(x^2+y^2-4x+6y-36 + k(x-2y+7) = 0 \)

\(\implies x^2+y^2 + x(-4+k) + y(6-2k) -36+7k = 0\)

এখন, প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:

\(x^2+y^2-5x+4y-43 = 0\)

comparing this equation with general equation of the circle we get

\(-4+k = -5 => k = -1\)

\(6-2k = 4 => k = 1\)

\(-36+7k = -43 => k = -1\)

let \(k = -1\)

\(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 36 -1(x - 2y + 7) = 0\)

\(x^2 + y^2 - 5x + 8y - 43 = 0\)

সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2+y^2-5x+8y-43 = 0\) 🎉