নিচের কোনটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স?

সমঘাতী ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সগুলি হলো:

• \(A = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}\)
• \(B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}\)

ধাপ 1: প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের জন্য characteristic polynomial নির্ণয়

প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের জন্য, characteristic polynomial \(\det(\lambda I - M)\) দিয়ে নির্ণয় করব।

ম্যাট্রিক্স \(A\):

\[
\det(\lambda I - A) = \det\left(\begin{bmatrix}
\lambda + 2 & 1 \\
2 & \lambda + 1
\end{bmatrix}\right)
= (\lambda + 2)(\lambda + 1) - (2)(1)
= (\lambda + 2)(\lambda + 1) - 2
\]

\[
= (\lambda^2 + 3\lambda + 2) - 2 = \lambda^2 + 3\lambda
\]

Characteristic polynomial for \(A\):

\[
p_A(\lambda) = \lambda (\lambda + 3)
\]

Eigenvalues:

\[
\lambda = 0,\, -3
\]

ম্যাট্রিক্স \(B\):

\[
\det(\lambda I - B) = \det\left(\begin{bmatrix}
\lambda - 2 & -1 \\
2 & \lambda + 1
\end{bmatrix}\right)
= (\lambda - 2)(\lambda + 1) - (-1)(2)
\]

\[
= (\lambda - 2)(\lambda + 1) + 2 = (\lambda^2 - \lambda - 2) + 2 = \lambda^2 - \lambda
\]

Characteristic polynomial for \(B\):

\[
p_B(\lambda) = \lambda (\lambda - 1)
\]

Eigenvalues:

\[
\lambda = 0,\, 1
\]

উপসংহার:

দুটি ম্যাট্রিক্সেরই ভিন্ন ভিন্ন Eigenvalues আছে।

অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্স \(A\) এর Eigenvalues হলো \(0, -3\) এবং ম্যাট্রিক্স \(B\) এর Eigenvalues হলো \(0, 1\)।

প্রশ্নের উত্তর:

নিচের কোনটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স?

উত্তর: \(A\) কারণ এটি একটি ম্যাট্রিক্স যার Eigenvalues \(0\) ও \(-3\), যা আলাদা। তবে, যদি ম্যাট্রিক্সের সমঘাতী (symmetrical) হওয়ার জন্য, সেই ম্যাট্রিক্সের transpose এর সাথে সমান হতে হবে।

সমঘাতী ম্যাট্রিক্সের জন্য পরীক্ষা:

\[
A = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}
\]
এবং
\[
A^T = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}
\]
নির্ণয় করি:
\[
A \neq A^T
\]
অর্থাৎ, \(A\) সমঘাতী নয়।

অতএব, কোনটি সমঘাতী?

উত্তর: কোনটি সমঘাতী নয়। তবে, প্রশ্নে দেওয়া বিকল্প অনুযায়ী, সমঘাতী ম্যাট্রিক্সের জন্য উপযুক্ত উত্তর হবে না।

তবে, উপযুক্ত উত্তর হিসেবে, যদি প্রশ্নে শুধুমাত্র ম্যাট্রিক্স দুটি দেওয়া হয়, তাহলে বলা যায়, কোনটি সমঘাতী নয়।