|(1,1,1),(a,b,c),(a^2,b^2,c^2)|  নির্নায়ক এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, নির্ণায়কটি হল: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \] নির্ণায়কের মান বের করার জন্য আমরা কিছু সারি অপারেশন করতে পারি। প্রথমে, দ্বিতীয় সারি থেকে \(a\) গুণ প্রথম সারি এবং তৃতীয় সারি থেকে \(a^2\) গুণ প্রথম সারি বিয়োগ করি। কিন্তু এক্ষেত্রে সরাসরি বিয়োগ না করে কিছু প্রোপার্টি ব্যবহার করে সহজে করা যায়। আমরা নির্ণায়কের ধর্ম থেকে জানি, \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a) \] এটা ভ্যান্ডারমন্ডে ম্যাট্রিক্সের একটি উদাহরণ। সরাসরি এর সূত্র ব্যবহার করে লেখা যায়। অথবা, নির্ণায়কটির মান বের করার পদ্ধতি নিম্নরূপ: = \(1(bc^2 - cb^2) - 1(ac^2 - ca^2) + 1(ab^2 - ba^2)\) = \(bc^2 - cb^2 - ac^2 + ca^2 + ab^2 - ba^2\) = \(bc^2 - cb^2 - ac^2 + ca^2 + ab^2 - a^2b\) এখন আমরা উৎপাদক বের করার চেষ্টা করি: = \(bc^2 - ac^2 + ca^2 - ba^2 + ab^2 - cb^2\) = \(c^2(b-a) + a^2(c-b) + b^2(a-c)\) = \(c^2(b-a) + a^2c - a^2b + b^2a - b^2c\) = \(c^2(b-a) + a^2c - b^2c - a^2b + b^2a\) = \(c^2(b-a) + c(a^2 - b^2) + a(b^2 - a b)\) = \(c^2(b-a) + c(a+b)(a-b) + ab(b-a)\) = \((b-a)[c^2 - c(a+b) + ab]\) = \((b-a)[c^2 - ac - bc + ab]\) = \((b-a)[c(c-a) - b(c-a)]\) = \((b-a)(c-a)(c-b)\) = \(-(a-b)(c-a)(c-b)\) = \((a-b)(b-c)(c-a)\) সুতরাং, নির্ণায়কটির মান হল: \((a-b)(b-c)(c-a)\) 🎉