3×3 আকারের একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স A এর উপাদানগুলোর গুনফল 2√2 হলে |(√2 I-A)³| এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

সমাধান:

দেওয়া আছে, \(3 \times 3\) আকারের একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স A এর উপাদানগুলোর গুণফল \(2\sqrt{2}\)। যেহেতু A একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স, তাই এর কর্ণ বরাবর উপাদানগুলো \(a_{11}, a_{22}, a_{33}\) হবে এবং বাকি উপাদানগুলো শূন্য হবে। সুতরাং, \(A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix}\) শর্তানুসারে, \(a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} = 2\sqrt{2}\) এখন, \(\sqrt{2}I - A = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2}-a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2}-a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2}-a_{33} \end{bmatrix}\) সুতরাং, \(|\sqrt{2}I - A| = (\sqrt{2}-a_{11})(\sqrt{2}-a_{22})(\sqrt{2}-a_{33})\) এখন, \(|(\sqrt{2}I - A)^3| = |(\sqrt{2}I - A)|^3 = [(\sqrt{2}-a_{11})(\sqrt{2}-a_{22})(\sqrt{2}-a_{33})]^3\) আমরা জানি, \(a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} = 2\sqrt{2}\) অথবা, \(a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} = (\sqrt{2})^3\) যদি \(a_{11} = a_{22} = a_{33} = \sqrt{2}\) হয়, তবে \(|\sqrt{2}I - A| = (\sqrt{2}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 0\) অতএব, \(|(\sqrt{2}I - A)^3| = 0^3 = 0\) 🎉 ```