\( x^2 + y^2 + 10x - 10y - 14 = 0 \) বৃত্তের কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক কত?

Explanation: Solve: এখানে, \(x^2 + y^2 + 10x - 10y - 14 = 0\) বৃত্তের কেন্দ্র \((-5,5)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((r,\theta)\) হলে \(r = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\) \(\theta = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{5}{-5} \right| = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: প্রথমে সমীকরণ থেকে \(2gx\) টাইপ এর রাশি হতে \((10x = 2.5x)\) অর্থাৎ \(g = 5\) এবং একেইভাবে \(f = -5\) ধরে কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-5,5)\) নির্ণয় করা হয়েছে, যা কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দ্বিতীয় Quadrant এ অবস্থিত। তারপর একে পোলার স্থানাঙ্কে প্রকাশ করা হয়েছে। তৃতীয় Quadrant এ থাকার কারণে \(\text{argument } \theta = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{y}{-x} \right|\) হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

বৃত্তের কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয়

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 + 10x - 10y - 14 = 0 \) বৃত্তের সমীকরণটিকে সাধারণ আকারে প্রকাশ করি: \( (x^2 + 10x) + (y^2 - 10y) = 14 \) \( (x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 10y + 25) = 14 + 25 + 25 \) \( (x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 64 \) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (-5, 5) \) এবং ব্যাসার্ধ \( 8 \) । কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (-5, 5) \) কে পোলার স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত করি। যদি পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) হয়, তবে: \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) এবং \( \theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) \) এখানে, \( x = -5 \) এবং \( y = 5 \) \( r = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) \( \theta = \tan^{-1}(\frac{5}{-5}) = \tan^{-1}(-1) \) যেহেতু \( x \) ঋণাত্মক এবং \( y \) ধনাত্মক, \(\theta\) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। সুতরাং, \( \theta = \frac{3\pi}{4} \) অতএব, বৃত্তের কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক \( (5\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}) \) 🥳। ```