sin cot^-1 tan cos^-1(3/4)  =  কত? 

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\sin \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4}) = \text{কত?}\)

প্রথমে, প্রশ্নের অভ্যন্তরে থাকা অভিব্যক্তিগুলোর মান নির্ণয় করি।

ধাপ ১: \(\cos^{-1} \frac{3}{4}\) নির্ণয়

ধরা যাক, \(\theta = \cos^{-1} \frac{3}{4}\)। তাহলে, \[ \cos \theta = \frac{3}{4} \] এবং, ত্রিভুজে, \[ \text{অধিকাংশ} = 1, \quad \অধিকাংশ} = \frac{3}{4}, \quad \অধিকাংশ} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \] অতএব, \[ \sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4} \] এবং, \[ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \]

ধাপ ২: \(\tan \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4})\) নির্ণয়

প্রথমে, \(\alpha = \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4})\)। তবে, \(\cot^{-1}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। এখানে, \(\cot^{-1} x\) এর মান হল, এমন সেই কোণ \(\alpha\), যেখানে \[ \cot \alpha = x \] এবং, \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). অতএব, \[ \cot \alpha = \frac{3}{\sqrt{7}} \] এবং, \[ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{\sqrt{7}}{3} \] এবং, \[ \Rightarrow \tan \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4}) = \tan \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} \]

ধাপ ৩: মূল অভিব্যক্তি নির্ণয়

অতএব, \[ \sin \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4}) = \sin \alpha \] এবং, \[ \sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2}} \] গাণিতিকভাবে, \[ \sin \alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{1 + \frac{7}{9}}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{7}{9}}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{\frac{16}{9}}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \] **উত্তর:** \[ \boxed{\frac{\sqrt{7}}{4}} \] **অতএব, মূল প্রশ্নের উত্তর হলো \(\boxed{\frac{\sqrt{7}}{4}}\)।**