tan^-1x+2cot^-1x=2π/3 হলে x এর মান কত? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: যদি \(\tan^{-1} x + 2 \cot^{-1} x = \frac{2\pi}{3}\), তবে \(x\) এর মান কত? সমাধান: ধরি, \(A = \tan^{-1} x\) ও \(B = \cot^{-1} x\)। তাহলে, \[ A + 2B = \frac{2\pi}{3} \] তবে, আমাদের জানা আছে যে: \[ \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x \] অর্থাৎ, \[ B = \frac{\pi}{2} - A \] এখন, মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ A + 2\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \frac{2\pi}{3} \] সমীকরণটি সমাধান করি: \[ A + \pi - 2A = \frac{2\pi}{3} \] \[ -\!A + \pi = \frac{2\pi}{3} \] অতএব, \[ -\!A = \frac{2\pi}{3} - \pi = \frac{2\pi - 3\pi}{3} = - \frac{\pi}{3} \] অর্থাৎ, \[ A = \frac{\pi}{3} \] এখন, \(A = \tan^{-1} x = \frac{\pi}{3}\), তাই, \[ x = \tan \left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \] তবে, প্রশ্নের উত্তরে \(x\) এর মান দেওয়া হয়েছে "1/√2"। এটি সম্ভবত একটি টাইপো বা ভুল। আমাদের সঠিক মান হচ্ছে: \[ \boxed{ x = \sqrt{3} } \] অতএব, **উত্তর: \(\boxed{\sqrt{3}}\)**