মূলবিন্দু হইতে (h,k) বিন্দু দিয়া গমনকারী রেখা সমূহের উপর অংকিত লম্বের পাদবিন্দুর সন্ধ্যার পরের সমীকরণ কোনটি?

প্রশ্ন: মূলবিন্দু হইতে (h,k) বিন্দু দিয়া গমনকারী রেখা সমূহের উপর অংকিত লম্বের পাদবিন্দুর সন্ধ্যার পরের সমীকরণ কোনটি?

উত্তর: \(x^2+ y^2-hx-ky=0\)

সমাধান:

ধরি, (h, k) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:

\(y = m(x - h)\) ... (১)

যেহেতু সরলরেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়, তাই এটিকে লেখা যায়:

\(y - k = m(x - h)\)

মূলবিন্দু থেকে এই সরলরেখার উপর লম্বের সমীকরণ:

\(y = -\frac{1}{m}x\) ... (২)

(১) নং ও (২) নং সরলরেখা যে বিন্দুতে ছেদ করে, তা হল লম্বের পাদবিন্দু। ধরি, পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)। সুতরাং, এই বিন্দুটি উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

এখন, (২) নং থেকে \(m = -\frac{x}{y}\) পাই।

m-এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(y - k = -\frac{x}{y}(x - h)\)

\(y(y - k) = -x(x - h)\)

\(y^2 - ky = -x^2 + hx\)

\(x^2 + y^2 - hx - ky = 0\)

অতএব, মূলবিন্দু থেকে (h, k) বিন্দুগামী সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - hx - ky = 0\)। 🎉