x2+y2-6x+4y+c=0 বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।
c এর মান নিচের কোনটি ?
4
প্রশ্ন অনুযায়ী, বৃত্তের সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 - 6x + 4y + c = 0 \]
আমরা জানি যে, বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ, y-অক্ষের যে পয়েন্টে এটি স্পর্শ করে, সেই পয়েন্টে বৃত্তের অক্ষের দূরত্ব (radius) y-অক্ষের থেকে সমান হবে।
ধাপ ১: বৃত্তের কেন্দ্র নির্??য়
বৃত্তের সমীকরণকে মানানসই করে সম্পূরক সম্পাদন (completing the square):
\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y + c = 0 \]
প্রথম, x এর জন্য:
\[ x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9 \]
এবং y এর জন্য:
\[ y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4 \]
অতএব, সমীকরণটি হয়:\[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + c = 0 \]
অথবা,\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9 + 4 - c \]
এখানে, কেন্দ্র \( (h, k) = (3, -2) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \) এর বর্গফল হল:\[ r^2 = 13 - c \]
ধাপ ২: y-অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত
y-অক্ষের জন্য x=0। এই পয়েন্টে, বৃত্তের দূরত্ব কেন্দ্র থেকে x=0 পর্যন্ত হবে রেডিয়াস।
যেহেতু বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের দূরত্ব সমান হবে রেডিয়াসের।
দূরত্ব কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের (x=0) হলো:
\[ \text{Distance} = |x_{center}| = |3| = 3 \]
অতএব, রেডিয়াসের মান হবে 3, অর্থাৎ:
\[ r = 3 \]
ধাপ ৩: r এর মান নির্ণয় এবং c এর মান নির্ণয়
আমাদের জানা হয়েছে:
\[ r^2 = 13 - c \]
এবং, \( r = 3 \), সূচক অনুযায়ী:
\[ 3^2 = 13 - c \]
অর্থাৎ, \[ 9 = 13 - c \] \[ c = 13 - 9 = 4 \]
উপসংহার:
অতএব, c এর মান হলো 4।