y=tanx হলে, dx^2/(d^2y) এর মান কত?

দেওয়া আছে, \(y = \tan x\)

প্রথম অন্তরকলজ, \(\frac{dy}{dx} = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + y^2\)

সুতরাং, \(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1+y^2}\)

এখন, \(\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{1+y^2}\right)\)

\(= \frac{d}{dy} (1+y^2)^{-1}\)

\(= -1 (1+y^2)^{-2} \cdot 2y\)

\(= \frac{-2y}{(1+y^2)^2}\)

অতএব, \(\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{-2y}{(1+y^2)^2}\)

প্রশ্নে \(\frac{dx^2}{d^2y}\) এর মান চাওয়া হয়েছে, যা \(\frac{d^2y}{dx^2}\) হবে না। বরং \(\frac{d^2x}{dy^2}\) হবে। প্রশ্নটি সম্ভবত ভুল আছে। সঠিক প্রশ্নানুসারে উত্তর হল:

\(\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{-2y}{(1+y^2)^2}\) 🧐

যদি \(\frac{d^2y}{dx^2}\) বের করতে বলা হয়, তাহলে:

\(\frac{dy}{dx} = 1 + y^2\)

\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (1+y^2)\)

\(= \frac{d}{dy}(1+y^2) \cdot \frac{dy}{dx}\)

\(= 2y \cdot (1+y^2)\)

\(= 2y(1+y^2)\) 🎉