3int_0^(π/4) (tan^2x+tan^4x) dx এর মান কোনটি?  

প্রশ্ন: \(3\int_0^{\pi/4} (\tan^2x+\tan^4x) \, dx\) এর মান কোনটি?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sec^2x = 1 + \tan^2x \)।

সুতরাং, \( \tan^2x + \tan^4x = \tan^2x(1 + \tan^2x) = \tan^2x \sec^2x \)।

এখন, \(3\int_0^{\pi/4} (\tan^2x+\tan^4x) \, dx = 3\int_0^{\pi/4} \tan^2x \sec^2x \, dx\)।

ধরি, \( u = \tan x \)। তাহলে, \( du = \sec^2x \, dx \)।

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \tan 0 = 0 \)।

যখন \( x = \pi/4 \), তখন \( u = \tan (\pi/4) = 1 \)।

অতএব, \(3\int_0^{\pi/4} \tan^2x \sec^2x \, dx = 3\int_0^1 u^2 \, du\)।

\(= 3 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = 3 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{3} \right) = 1\)।

সুতরাং, \(3\int_0^{\pi/4} (\tan^2x+\tan^4x) \, dx = 1\)। 🎉